尽管还没有一个完整的证明，但是几世纪来在走向解决的道路上有几次重大的进展。1892年，挪威数学家阿克塞尔·图埃（AxelThue）对开普勒问题在二维时的类似问题，即考虑只有一层时，或换言之，将橙子安排在一个盘中而不是在一个箱子中时什么排列方法是最有效的，给出了一个证明。答案是六边形排列。接着，托思（Tóth）、塞格雷（Segre）和马勒（Mahler）都得到同一结论，但这些方法都不适用于原来的三维开普勒问题。
在近代，有些数学家尝试采用一种颇为不同的解题方针，就是对可能的填装效率设置一个上限。1958年，C.A.罗杰斯计算出一个上限为77.97％——意思就是不可能有一种排列方法具有高于77.97％的填装效率。这个百分比并没有比面心立体格架的填装效率74.04％高出许多。因而，如果某个排列方法有比面心立体格架高的效率，那么它也只能高出几个百分点。只有很小的一个3.93％的窗口有可能让异常的排列方法利用并证明开普勒是错的。在罗杰斯之后，别的一些数学家开始尝试通过把上限降低到74.04％的方法完全地关闭这个窗口，这样就使任何别的排列方法没有超过面心立体格架的效率的余地，于是就证明了开普勒是正确的。不幸的是，降低上限却是一个缓慢而艰难的过程，到了1988年它降到77.84％，比罗杰斯的结果好得极为有限。
尽管许多年中进展缓慢，球填装问题在1990年夏天突然成了头版新闻，当时加利福尼亚大学伯克利分校的项武义公布了一项结果，他宣称这项结果是对开普勒猜想的一个证明。最初，数学界的反响很乐观，但是，像怀尔斯的证明一样，这篇论文必须经过同行的评审才能被承认为有效的。过了几个星期，项面临着一系列的问题，证明露出了破绽。
弗朗西斯·格斯里意识到他可以只用4种颜色给一张英国分郡地图着色，使得相邻的郡不会有相同的颜色。当时他想知道是否可构造出需要多于4种颜色来着色的地图。
经历了与怀尔斯类似的严峻考验，一年后项以一份修改过的证明作为答复，他宣称这份证明已解决了原来论文中被发现的那些问题。对项来说不幸的是他的批评者们仍然相信他的逻辑论证中有缺陷存在。在给项的一封信中，数学家托马斯·黑尔斯（ThomasHales）试图说明他的疑点：
你的第二篇论文中所作的一个假设我认为是更基本的，但却远比其他的更难于证明……你说“填加第二层填装的最佳方法（即体积极小化）是覆盖尽可能多的洞……”。你的论证似乎在很大程度上实质性地依赖于这个假设，但是对它的证明却根本没有一处提到。
自项的修改过的论文发表以来，在他与他的批评者之间就主张这个问题已经被解决还是尚未被解决一直展开着争论。用最好的说法，这个证明仍然处于争议之中；用最坏的说法，这个证明已经被推翻——无论哪一种情形，对于意欲证明开普勒猜想的人来说大门依然是敞开着的。
计算机证明
在怀尔斯解决费马大定理的过程中，他仅有的武器是笔、纸和纯逻辑。虽然他的证明中使用了数论中最现代的技术，但整个证明仍然完全遵循着毕达哥拉斯和欧几里得的传统风范。然而，近来出现的种种迹象预示着怀尔斯的解答可能是这种传统式证明的最后一个范例，将来的成果可能依靠使用野蛮的力迫法而不是高雅的论证。
被有些人称为数学的衰落的第一个迹象涉及1852年由业余数学家弗朗西斯·格斯里（FrancisGuthrie）提出的一个问题。一天下午，格斯里在无聊之中为英国分郡地图着色的时候，突然发现了一个看上去简单但他却无法回答的问题。他非常想知道：为任何想象得到的地图着色，并使得任何两个有公共边界的区域的颜色都不相同，那么最少需要多少种颜色。
例如，对图27中的模式而言，3种颜色是不够的。因而，很显然有些地图需要4种颜色，但是格斯里想知道对所有的地图而言4种颜色是否已足够，抑或有些地图需要5种、6种或更多的颜色。
尽管遭到挫折却仍然很感兴趣，格斯里向他的弟弟弗雷德里克（Frederick）提到了这个问题。弗雷德里克是伦敦大学学院的一个学生，他又把问题提交给他的教授，着名的奥古斯塔斯·德·摩根（AugustusDeMorgan），后者于10月23日写信给杰出的爱尔兰数学家和物理学家威廉·罗恩·哈密顿（WilliamRowanHamilton）：
我的一个学生今天请我告诉他某个事实成立的理由。我过去不知道这是个事实——现在也不认为这是个事实。他说，如果将一个图形随便地划分，并且各个部分涂以不同的颜色使得任何具有公共边界线的部分颜色都不相同，那么只需要4种颜色就够了，无需更多的颜色。我找到的例子都只需要4种颜色。请问：难道找不到必需5种或更多种颜色的例子吗……如果你能用某个非常简单的意味着我是大笨蛋的例子加以反驳，我想我就一定要像斯芬克斯那样干了……哈密顿并未能发明一张需要5种颜色的地图，但也未能证明这种地图不存在。有关这个问题的消息迅速传遍欧洲，但是它坚定地抵挡住了来自各方面的进攻，证明它确实是一个容易使人上当的难题。赫曼·闵可夫斯基（HermannMinkowski）曾有点自以为是地说，这个问题之所以一直没有解决，原因在于只有三流的数学家尝试过它。但是他自己的尝试也以失败告终。“上帝因我的傲慢而愤怒，”他公开说，“我的证明也是有缺陷的。”
尽管创造了现在称之为“四色问题”的这个数学中最难解决的问题之一，弗朗西斯·格斯里还是离开英国在南非从事专业律师的职业。最后他又回到了数学事业上，成为开普敦大学的一名教授，在那里他花在植物系的时间要比与他的数学系同事在一起的时间还多——除了四色问题外，仅有的使他出名的事是有一种杜鹃科植物以他的名字命名：格斯里石南。
经过四分之一世纪仍未解决之后，到了1879年出现了非常乐观的形势，当时英国数学家艾尔弗雷德·布雷·肯普（AlfredBrayKempe）在《美国数学杂志》（AmericanJournalofMathematics）上发表了一篇论文，其中他提出了对格斯里之谜的一个解答。肯普似乎证明了每张地图至多需要4种颜色，同行评审的过程似乎也肯定了这篇论文。他不久就当选为皇家学会学员，并因他对数学的贡献最终被封为爵士。
然而，在1890年，达勒姆大学的一位讲师约翰·希伍德（JohnHeawood）发表了一篇论文，这篇论文震动了数学界。在肯普看上去解决了这个问题之后十年，希伍德揭示这个所谓的证明有重大的缺陷。除了他否定了肯普的证明外，唯一的好消息是希伍德可以证明所需的颜色的种类最多为4种或5种，不需要更多种的颜色。
虽然肯普、希伍德和其他一些人未能解决四色问题，但是他们失败了的努力却对新的、正在蓬勃发展的拓扑学做出了巨大的贡献。拓扑学与几何学不同，几何学研究的是对象的精确的外形和大小，拓扑学则仅仅对于对象的本质，即它最基本的特性有兴趣。例如，当几何学家研究一个正方形时，他感兴趣的性质是每条边有相等的长度以及每个角都是直角；而当拓扑学家研究这同一对象时，他唯一感兴趣的性质是正方形是一条简单的、实际上组成一条环路的不间断的曲线。因而，拓扑学家将一个圆看成与正方形没有什么区别的东西，因为它也组成一个简单的环路。
另一种观察正方形和圆的拓扑等价性的方法是想象在一条橡胶床单上画上这两种图形中的一种。如果我们从正方形着手，那么我们可对橡胶床单进行拉伸，弯曲和扭曲（但不能撕裂）直到将原来的正方形变换成一个圆为止。另一方面，不管将橡胶床单怎样变形，正方形永远不可能被变换成一个十字形。因此正方形和十字形不是拓扑等价的。由于这种思维方式，拓扑学常被称为“橡胶床单几何学”。
由于放弃了像长度和角度这样的概念，拓扑学家只能借助于诸如对象所具有的交点的个数之类的性质来区别各种对象。按这种方式，8字形与圆本质上是不同的，因为8字形包含一个4条线相交于一处的点，而圆则不包含这种点。不管做多少次伸展和扭曲都不能把8字形变换成圆。拓扑学家也对三维（或更高维的）对象感兴趣，其中的洞、环路和扭结等都成为感兴趣的基本特征。数学家约翰·凯利异想天开地评论说：“拓扑学家是一个不知道一只面饼圈与一只咖啡杯有什么差别的人。”
数学家们希望，通过拓扑学这个把事情简化的镜头去观察地图，他们就能够掌握四色问题的本质。第一个突破出现于1922年，当时菲利普·富兰克林没有理睬原来的那个一般的问题，而是作出一个证明显示任何包含不多于25个区域的地图只需要4种颜色。其他数学家尝试进一步发展富兰克林的方法，在1926年雷诺兹（Reynolds）将证明推广到有27个区域的地图；1940年温（Winn）将它推广到35个区域；到了1970年奥尔（Ore）和斯坦普尔（Stemple）已经达到39个区域。这个问题似乎重复着费马大定理的历史：向着无穷缓慢地推进。原来的猜想看上去几乎肯定是对的，但是在一个一般性的证明被发现之前，总还有画出一张地图证明格斯里是错的这种可能性存在。事实上，在1975年，数学记者和作家马丁·加德纳在《科学美国人》杂志上发表过一张地图，声称这张地图需要5种颜色。发表的日期是4月1日，加德纳很清楚地知道虽然只用4种颜色覆盖这张地图不是一件容易的事，但这并不是不可能的。你如果喜欢去证明确实是这样的话，这张地图就显示在图28中。
缓慢的进展速度越来越清楚地表明，传统的处理方法将永远不可能填补起在奥尔和斯坦普尔对39或少于39个区域的地图的证明与任何能想到的由无限多个区域组成的地图之间的空缺。于是在1976年，伊利诺伊大学的两位数学家沃尔夫冈·哈肯（WolfgangHaken）和肯尼思·阿佩尔（KennethAppel）提出了一种使数学证明的概念发生革命的新技术。
