1.培养善于观察的能力。任何一道数学题都包含一定的数学条件和关系。要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。
2.培养善于联想的能力。稍具难度的问题和基础知识之间的联系都是不明显的、复杂的。因此怎样解题，解题的速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，作出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入。
3.培养善于进行问题转化的能力。解题过程是通过问题的转化才能完成的，恰当的转化使问题变得熟悉、简单，使抽象问题转化成具体问题，未知问题转化为已知问题。
思维灵活性的反面是思维的呆板性，或称心理惰性，其表现是思维定势。知识和经验经常被人们按照一定的、个人习惯的“现成途径”反复认识，这就产生了一种先入之见，使思维倾向于某种具体的方式和方法，使人在解题过程中总是遵循业已知道的规则系统，即思维定势。它是发明和创造性活动的极大障碍。
但也有好的一面，即在解同一类型问题时，可不必重新安排解题程序。因此教师应帮助学生克服思维呆板性的消极一面，及时引导学生在新的情况下寻找新的解题途径。
四、思维的独创性
思维的独创性是指思维活动的创新程度。它表现为思考问题和解决问题时的方式方法或结果的新颖、独特、别出心裁。这里的“独创”不只是结果的独创，还包括思维活动是否有创造性态度。善于发现、解决和引申问题是思维独创性的具体表现，它较多地寓于数学直觉思维和发散思维之中。
思维独创性的反面是思维的保守性，它的主要表现是思维受到限制，落入俗套从而产生思维的惰性。消除学生思维保守性的方法是在加强基础知识学习和基本技能训练的前提下，提倡让学生独立思考，从分析问题的特点出发，去探求新颖独到的解决方法。
五、思维的敏捷性
思维的敏捷性是指思维活动的反应速度和熟练程度。它表现为思考问题时敏捷快速，善于运用直觉思维，善于使用数学模式。敏捷是以准确为前提，是建立在掌握了扎实的基础知识和熟练的基本技能，正确领会知识和把握问题的实质的基础之上的。
六、思维的批判性
思维的批判性就是善于发现问题，提出疑问，辨别是非的一种思维品质。批判性的思维是一种实事求是、周到缜密的思维。思维的批判性主要体现在以下几方面：
1.对已有的数学表述能提出自己的看法，不盲从附和。例如费尔玛猜想：当n为任意自然数时，Fn=22n+1都是质数。
欧拉对此感到怀疑，并且举出n=5时，Fn就不是质数，从而否定了费尔玛猜想。
2.能严密地、全面地利用已知条件，在关键之处能及时、迅速地自我反馈。
3.有能力评价解题思路是否正确。用批判性的态度去分析解题过程，发现其中的不足，不断加以改正和完善，这也是批判性的体现。
培养学生思维的批判性是首先要落实在数学概念和命题的教学中。
(第四节 )数学创新思维的培养
数学教学的核心是发展学生的数学思维能力。因此数学教学不能仅仅停留在传授知识上，而应进一步围绕数学思维能力的基本特征，认真对学生的数学思维进行培养，大力提高学生的思维水平。如何对学生的数学思维进行培养呢？我们应从对学生的思维训练人手。那么如何抓好思维训练？关键是抓住思维训练的内容、类型、水平与层次，训练思维的敏捷性、独立性和逻辑性，排除思维定势的障碍，使学生思维流畅。下面介绍常用的思维训练方法。
一、实验演示，启迪思维
“实验演示”指的是学生在教师设计的情境下进行实验，通过直观形象自己发现真理和论证思路。训练学生从实验的教学材料中启迪思维，并迅速抓住对象的共同的本质属性，同时加以抽象形成概念或归纳出规律。
加强实验，使学生通过感知和想象，对抽象的东西，在头脑中建立起鲜明而确定的形象。实验的直观性，是为了促进学生的自觉思维，启发学生经过逻辑思维，逐步揭露事物的本质属性和内在联系，从而达到抽象思维，即深刻理解。加强直观性教学，有利于调动学生学习中的心理成分，对提高学生的思维能力效果极佳。
二、观察联想，活跃思维
所谓“观察联想”就是让学生在观察图形、算式时展开联想，找到解决问题的思路。学生思维呆滞，常反映在不能通过思考和探索去寻找解题思路上。克服思维呆滞性的途径是训练学生观察联想，活跃学生的思维，培养思维的灵活性。观察联想的方法有：
1.定向联想：有预定的目的，以达到某一目标为方向的联想。
2.接近联想：为求把观察同直接或间接接触的事物相联系，并通过想象寻找它们的相同点。
3.类似联想：即以性质接近，形状相似的同类内容联想，可以给人们以很大的启发。
4.对比联想：即对具有相反特点的事物作比较联想。
三、类比发现，激励思维
所谓“类比发现”就是鼓励学生考虑问题时，比比想想，在思维中确定所研究对象的相同点和不同点，以此加深对问题的理解，发现所研究对象的实质。如一元二次不等式与一元二次方程在形式上有很多相似的地方，因此在一元二次不等式的教学中类比一元二次方程的形式、概念、解法可收到较好的效果。一元二次不等式的解法和一元二次方程有许多类似之处，如都要运用因式分解、配方、求根公式法等方法(就是求同)，然后由于所讨论的是不等式，最终所得的解是与两根有关的一个确定的范围，是一个不等式(就是求异)。显然，学生通过这样的类比，激励思维．一元二次不等式的求解就容易掌握了。
从图形相似的同类内容相比，类比异同，从中发现联系，抓住实质进行分析，以提高解题技巧。
有些几何命题或它们的图形之间有某些联系或相似之处，通过类比，往往能由一题的解法启发另一题的思路。对图形仔细观察分析，发现相似之处，从中找出一些联系，往往能启发思路．获得解题途径。这样做一题，贯通几题，解决一类，学生的智力得到发展，能力得到培养。
运用“类比”的方法进行思维训练，要从教材和学生的实际出发，通过铺垫伏笔创设“最近发展区”，以激励通向“现实发展区”的联想和跃迁。如讲分式的定义和性质时，从分数的定义和性质想起，抽象的问题可从类似的具体问题想起等，可激励思维不断发展，增加思维的灵活性。
四、反向练习，进行逆向思维训练
所谓“逆向思维”，就是“反其道而行之”，即从反面想问题的思路。当你左思右想不得其解时，不妨从反面(相反的属、相反的状态、相反的过程)思考一下，有时反而茅塞顿开，收到意想不到的效果。逆向思维可以使人们突破传统的“思维定势”，开拓科学的新领域，结出丰硕的创造之果。逆向思维不仅可以加深对原有知识的理解，而且还能发现一些新的问题，引起学生的兴趣与思考。
如何进行逆向思维训练？一是在概念教学中注意反方向的思考；二是重视逆定理和公式逆用的教学；三是强调某些基本数学方法的逆用。由正向思维向逆向思维，对能力差的中学生来说，是深感困难的，对他们建立逆向思维是特殊的任务。要加强训练，先讲正向变形，在正向变形训练到较为熟悉后，再转向逆向使用公式训练。只讲单向，造成的弊端是思维上的“半导体”，对于重点和难点的公式，教材只讲正向使用，为了使学生深入理解，灵活运用，要补充逆向联结训练。
五、变式训练，深化思维
所谓“变式”就是变换问题的条件和结论，变换问题的形式，教学中对于数学的概念、法则、定理、公式、题目等从变换思维角度去联想去推广，不但可以培养学生的创造性思维能力，且能将知识深入，提高学生分析问题、解决问题的能力。现列出几种常用的方法：
1.变换问题的形式和内容。对于同样的数量关系和逻辑关系，常可表现为不同的形式，我们掌握了这种关系后，可以编出与这种关系相同而表达形式不同的问题。
2.保留条件，深化结论。对于现有的题目，挖掘更深层次的结论，在现在的结论基础上，追问是否可以推到更深的结论；或者是在当前条件下，增加一个已知，再增加一个求证的结论。
3.保留结论，减弱条件。对于当前题目，考虑是否由比较弱、少的条件就能得到结论，即把条件设置到最小化，以加强对条件和结论之间联系的认识。
4.“变换”思维角度去联想、去推广。
通过“变式”使一个问题与有关问题联系起来，从而使问题层层深入，思维不断深化，可以使学生真正辨清概念、理解题意；可以提高训练效率，节约教学时间。变式训练可以增加大脑中思维的内在模式，促使知识广泛正迁移，有利于发展数学思维能力。
六、多向思考，广开思路
多向思考即多向思维，是指认识主体(即认知者本人)考察、审视思维客体(即认知对象)，从不同角度、全方位地考虑问题，且思维要力求灵活、变通、广开思路。为提高学生分析问题和解决问题的能力，必须改善和提高学生思维艺术，变单向思考为多向思考。训练学生的多向思维品质，教学中要引导学生从不同的角度、不同的方向探索解决问题的思路，增强思维起点和思维过程的灵活性，抓好各部分知识之间和各种方法之间的联系，做到“一题多变”“一题多解”等。
教师在教学中要善于引导学生从正向、逆向、横向、纵向等去探索问题，精心联想、广开思路、有的放矢地转化解题方法，即从一条途径转化为另一条途径，变单向思维为多向思维。
七、质疑问难
质疑问难是培养“创造性思维”所不可少的手段。所谓“创造性思维”是指认识史上第一次产生的、前所未有的、具有一定社会意义的思维活动。创造性思维的特征是新奇独特，别出心裁，突破常规，不落俗套或几方面兼而有之。概括起来即探索、进攻、突破、创新。在创造性思维过程中，发散思维起主导作用，是创造性思维的核心。唯有“发散”，才能获得各种可供分析、综合的信息，以便对问题进行全面、深入的研究；唯有“发散”，才能多角度、多层次地从不同方向去思考，使学生在亲身的探索中掌握知识间的内在联系，深刻地理解知识、巩固知识和灵活地运用知识，培养学生创造性思维能力。
在数学教学中培养创造性思维，应把着眼点放在引导学生在解决问题和探索各种规律性时，在已知领域中有所创新，在未知领域中有所发现或突破。在中学数学教学中，培养数学创造性思维的具体措施有如下诸方面。
1.培养勇于探索的精神。勇于探索的精神是数学创造性思维的前提。要培养学生勇于探索的精神，就应为学生创造良好的探索环境。比如教师要鼓励学生“敢于质疑问难”“寻根问底”。
2.探索关键。教师要敢于放手让学生亲自探索知识的形成过程。要把探索引导到关键问题或主要结论方面。在探索前或探索中教师要引导学生的思维方向，启发学生独立思考。要常用提问质疑，让学生带着问题追根究底，把数学知识的形成过程，转化为学生的思维活动。
3.加强发散思维的训练。所谓发散思维是一种不依常规，寻求变异从多方面寻求答案的思维方式。其主要功能是开阔思路，求异创新。如一题多解，就是多方面寻求问题的不同解法，殊途同归。
一般说来，数学上的新思想、新理论和新方法往往来源于发散思维。可见，加强发散思维的训练，确是培养学生数学创造性思维的中心环节。
八、鼓励猜想
猜想是一种直觉思维。猜想能够创造科学。因而教师要精心设计问题情境激起学生强烈的猜想愿望。猜想有正确的，也有错误的。应该提倡并且鼓励学生猜想，猜想错了也无妨，错误的猜想往往成为正确猜想的先导，解数学题中运用猜想，可以猜想解题的结果，猜想解题思路和方法，猜想与联想和类比紧密联系着，联想和类比往往是猜想的先导或基础，启发着猜想。常用的猜想方法有：
1.引导学生进行小范围的探索活动，创设适当的问题情境，让学生有充分的准备时间进行猜想。
2.利用发散性题目，如编写信息不完全或信息多余的题目，结论不定或没有提出问题的开放型题目，有利于培养学生的猜想热情。
3.改变题目或引申发展等，以增加猜想的因素。
4.迁移猜想。由一元一次方程解法可以迁移猜想到一元一次不等式的解法；由二元一次方程组的解法，可以迁移猜想到三元一次方程组的解法；由一元一次方程的定义，可以迁移猜想到一元二次方程、二元一次方程、三元一次方程的定义。
5.观察分析猜想。如因式分解、图形性质都可由观察分析因式、图形而猜想出解题方法和结果。
猜想思维，它是人类各种思维活动中最宝贵的思维形式。有了这种思维，人类社会才能不断向前发展。
九、引导归纳
归纳思维模式是加拿大课程理论学家塔芭女士提出的，是为了提高学生处理信息的能力而设计的。她认为要教会学生确认和列举与问题有关的资料，从相似性为基础对资料的项目进行分类，对这些类别形成范畴。归纳思维的过程不仅包括集中利用信息来解决问题，还包括创造性的加工信息，加强归纳思维训练的方法有：
1.归纳、推广。要从学生能够了解的实际事例或已有的知识出发，积极启发、引导学生进行归纳、演绎、分析、综合、抽象、推广，在中学数学教学中应该注重归纳、推广能力的培养。让学生将一些办、所能及的问题归纳、推广是大有益处且切实可行的。
2.归纳小结。每节课所学的知识，引导学生把知识归纳小结，纳入知识结构中。其形式应根据内容可采取列表或图解或图文形式。
3.归纳解题方法。例如，由定理“三角形任何两边的和大于第三边”推论出，推论1：“三角形任何两边的差小于第三边”，由上述定理及推论1不难得到推论2：“三角形任何一边大于另两边之差，小于另两边之和”。将这两个推论介绍给学生，有利于培养学生的归纳思维，有利于培养学生的概括能力和逻辑推理能力。
十、模拟换位
也称“换位思维”，就是当自己的思维策略受挫时，不妨模拟别人的思维角度，把自己由主体地位放至客体地位，重建思维顺序，理顺思维关系，也可使问题得以解决。
有些数学题，仅从某个固定角度思考，往往一筹莫展，这时可运用换位思维的方法改变一下思考角度。
