(1)演绎作用。通常可将研究问题或对象看成一般性问题或对象，按照增加约束条件，取其局部或个别情形进行考察等方式得出特殊性问题或对象。这样的特殊化是演绎的形式之一。例如由多边形得出三角形或四边形；由整数推向奇数或偶数；由变量换成常量；将非严格不等式换成等式；由命题“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”，推出命题“如果三条平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等”等都是特殊化的结果。
(2)通过对特殊和个别的分析去寻求一般，以获得关于所研究对象的性质或关系的认识，找到解决问题的方向、途径或方法。这就是解题时的“以退求进”的思维方法。通常采用的“极端化原则”，特例、反例分析法等都属于这个范围。
一般化是把研究问题或对象从原有范围扩展到更大范围进行考察的思维方式。它是一种特殊的概括，是将个别事物或对象推广到更普遍的情形。在数学中我们经常通过改变条件、用变量去取代常量等来获得更一般的结论。
相对特殊化而言，一般化是较为困难的，然而一般化又是数学创造的基本形式，因为数学认识的根本目的就是要揭示更为普遍、更为深刻的事实或规律。尽管特殊化与一般化是在两个相反的方向上进行的，但是这两者在实际的数学研究中又是密切相关、互相依赖的。
十二、模型化与具体化
模型化或模型方法是通过抽象、概括和一般化，把研究的对象或问题转化为本质(关系或结构)同一的另一对象或问题加以解决的思维方法。通常把被研究的对象或问题称为原型，而把转化后的相对定型的模拟化或理想化的对象或问题称为模型。模型化思想强调事物的整体性和本质同一性，因此所建的模型必须能真实反映原型的整体结构、关系或某一过程、某一局部、某一侧面的本质特征和变化规律。总体上可分为实物模型和思想模型两大类，表现形式多种多样，如数学模型、物理模型、逻辑模型、图形模型、功能模型等。其作用在于使研究对象的处理典型化、形式化和精确化，从而在认识方法上也起到清晰化、简洁化的作用。
数学模型是针对或参照某种事物系统的主要特征、主要关系，用形式化的数学语言，概括地或近似地表述出来的一种数学结构。它是从现实世界中抽象出来的，是对客观事物的某些属性的一个近似的反映。模型与现实的关系可用下图形象地加以说明。
模型与现实的关系图
欧拉对七桥问题的巧妙解决，是通过构造数学模型来实现的：七桥问题是一个具体的实际问题，属于数学模型的现实原型，经过理想化抽象所得到的一笔画问题，便是七桥问题的数学模型。这种只反映特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构，属于狭义上的数学模型。在现代应用数学中，数学模型都作狭义的解释，构造数学模型的目的，主要是为了解决具体的实际问题。
从广义上讲，一切数学概念、数学理论体系，各种数学公式，各种方程式，各种函数关系以及由公式系列构成的算法系统等，都可称为数学模型，因为它们都是从各自相应的现实原型中抽象出来的。
在利用数学模型方法求解时，需要多方面的能力，如理解实际问题的能力，数学抽象能力，运用数学工具的能力，通过实践加以验证的能力等。为此，在平时的学习中，应当多接触一些实际问题，多了解一种相关的学科知识。
十三、类比与映射
类比是一种间接推理的方法，也是一种科学研究的方法。它以比较为基础，首先对两个不同对象的某些属性进行比较(从特殊到特殊)，找出它们的相似点或近似程度，然后再联想或预见。在解决数学问题的过程中，为了寻找解题的线索往往借助于类比的方法，在将陌生对象和熟悉对象、未知规律和已知规律对比之后，常常能达到触类旁通，举一反三的效果。这种类比多种多样，因而往往是含糊的，但它却是提出新问题和获得新发现的一条重要途径。常用的类比有：平面与空间的类比、数与形的类比、有限与无限的类比、新问题与典型例题的类比、数学模型的类比等。
由于类比思想的逻辑是充分的，它是有必然性的。所以类比显然不能作为一种严格的数学证明方法，但它却可以帮助人们建立猜想，在困难的条件下，为了寻找解题的线索常常要借助于类比，正如康德所说“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往能指导我们前进”。数学家多是运用类比法的能手，欧拉曾说：“类比就是大胆创造。不过，你应该首先找到双方的相似属性。”
映射是关系(R)、映射(M)与反演(I)的简称(缩写为RMI原则)，笼统地说，它是指在两类数学对象或两个数字集合的元素之间建立某种“对应系统”。利用RMI原则解决问题的过程如下图所示：
RMI原则解决问题的过程
仔细观察和思考上图中所示的模式，不难发现RMI原则在数学中是很带普遍性的思考方法。中学数学中经常使用的七种基本方法：直角坐标法、极坐标法、复数法、参数法、对数法、换元法和向量法，可以说都是RMI原则的具体运用。下面我们两个例子看一下RMI原则的具体应用。
映射方法的认识依据是两个关系系统的对应相似，而类比方法则侧重于性质上相似。两种方法之间是不存在交叉的，例如数形转化既是一种映射方法的体现，也是一种类比方法的运用。
RMI原则的思维作用有两个方面：其一是能在数学学习和研究中用来加深对知识或方法的理解，发挥探索数学新知识，指导数学研究和发现的作用；其二是能在数学解题中起到开拓思路，使问题的解决达到由难化易、由繁化简的目的。
十四、联想与猜想
联想是由一个事物想到与其相关的另一个事物的思维过程，是一种由此及彼的思维方法，是直觉思维的一个重要方式。它在数学发现过程中有着广泛的应用，并发挥着重要的作用。数学思维活动中常见的联想有逆向联想、定向联想、类比联想、形似联想、相关联想等。
人们通过联想，使旧问题的解法重现，在解决旧问题方法的启发下，人们在开始动脑筋创造新问题的方法。因此旧方法是形成新方法的前提，新方法是发现旧方法的发展，而联想则是发现的中介。广泛的联想可以使我们的智慧插上矫健的翅膀在知识的天空中自由翱翔；广泛的联想可以为我们的数学发现活动开拓出五彩缤纷的道路。
那么遇到问题时，我们从哪几个方面去联想呢？我们应从概念上联想；从特殊与一般的关系上去联想；从条件与结论的因果关系上去联想；从数形结合上去联想；从待证命题去联想相近的已证命题；从解题的典型方法去联想；从命题的条件或结论进行逆向联想；还可以从相邻学科进行联想；由空间图形联想到平面图形；几何问题联想到三角方法、解析方法；三角问题联想到几何方法、代数方法等。
猜想是对研究的对象或问题进行观察、实验、分析、比较、联想、类比、归纳等，依据已有的材料和知识作出符合一定的经验与事实的推理性想象的思维方法。它是一种合情推理，属于综合程度较高的带有一定直觉性的高级认识过程。数学猜想就是指依据某些已知事实和数学知识，对未知量及其关系所作出的一种似真推理。
现代认知理论认为，学习是主体主动的意义建构活动，是主体在头脑里建立和发展数学认识结构的过程，是数学活动及其经验内化的过程。因此猜想是在建构活动中，主体的数学认知结构对当前面临的过程，它使外部知识与内部创造的不平衡达到暂时的平衡。思辨中缺少了猜想，数学材料就不能形成主体的心理意义，从而造成意义建构失败。所以猜想是构建数学认知结构时主体思辨活动的关键一步。从另一侧面，猜想能促进知识的同化和顺应的进行，加速知识的发生和迁移。
猜想既有一定的科学性，又有一定的假定性，这一层面上仅仅反映出猜想思维的敏捷性、灵活性以及批判性。费尔玛猜想是一个举世闻名的例子。费尔玛是从毕达哥拉斯方程x2+y2=z2的整数解问题出发，于1637年前后提出的猜想：将毕氏方程中指数2改为正整数n，当n≥3时，相应的方程没有正整数解。
后来被英国数学家维尔斯证实了该猜想的正确性，这使得维尔斯获得沃尔夫数学奖。这一成果被认为是20世纪最重大的数学成就。又例如费尔玛关于形如22n+1的数是素数的猜想，后被欧拉用n=5的反例所否定。希尔伯特23个问题中提出的假想或猜测等都是数学猜想的著名例子，其中有些猜想是正确的，有些猜想已被数学家所否定，有些则至今仍未得到解决。
上海师范大学胡炯涛先生把猜想分为五种基本形式：探索性猜想、归纳性猜想、类比性猜想、试验性猜想和构造性猜想。浙江师范大学任樟辉先生把猜想分为：类比性猜想、归纳性猜想、探索性猜想、仿造性猜想和审美性猜想。这两种分类依据是实现数学猜想的途径和方法。若以猜想的结论或解题途径是否唯一，可将猜想分为线性猜想与非线性猜想。
面对一个数学猜想，我们可以从两个方面进行思考：通过演绎推理证明此猜想为真，或找出反例说明此猜想为假，从而否定或修正此猜想。从一定意义上讲，数学地思维就意味着猜想的产生。
(第三节 )数学思维品质的培养
思维的发生和发展，既服从于一般的、普遍的规律，又表现出个性的差异。这里所说的个性差异指的是对于不同的个体，具有不同的思维特点。个体思维活动的特殊性的外部表现称之为思维品质，它是评价和衡量学生思维优劣的重要标志。思维品质的差异实质上表现为人的能力的差异，因此在数学教学中要重视对学生良好的思维品质的培养。
一、思维的深刻性
思维的深刻性是指思维活动的抽象程度和逻辑水平，它集中表现在善于透过现象和外部联系，揭示事物的本质和规律，深入地思考问题，系统化、一般化地解决问题。深刻性是思维品质诸特性中最具基础和较为深刻的要素，对其他品质特性具有统摄与联动作用。思维的深刻性通常具有如下几个内在与外在特征：善于从本质上理解数学对象；善于运用对立统一的观点理解数学对象；善于思辨，敢于质疑问题；善于对学习中的问题深入思考，勇于尝试创造性的学习。
要培养学生思维的深刻性，就必须对课本深钻细研，开发有价值的教育素材，通过精心谋划、设计和组织，让学生的思维活动至少向下述四个特征的方向发展，学会深刻的思维。
1.创“情”设“境”——让学生在知识起点做到理解深刻。例如在概念教学中，通过精心设计，创设思维情境，增加知识的探索与形成过程，以增加学生思考、探索与尝试的体验，是帮助学生深刻理解数学概念本质较为成功的一种做法，目的是要让学生在知识起点就做到深入理解。比如异面直线概念教学，教师让学生每人拿两根小竹竿放在桌面上，观察各种位置关系：除平行和相交外，还存在既不平行又不相交的情况，概括出异面直线概念中不共面的本质属性，给出定义，进而设计出异面直线概念的肯定例证和否定例证，以巩固和深化概念，在完善对空间两条直线位置关系认识的基础上，形成相应的概念系统。
2.触“数”思“形”——让学生在对立统一观点的运用中求深刻的思维。数与形是事物的两个方面，用形帮助学生构建数的认知结构常能获得独到的效果。但课本中的很多代数方程的问题，由于受某些因素的制约，未能再从几何方面引导思考。因此，对某些典型的、启发性强的代数问题，可组织让学生再从形的角度思考。这样处理有利于帮助学生构建数形统一观，促进对问题的深刻思维。
3.引“思”论“证”——让学生在严谨的论证中探求深刻的思维。课本中的结论一般都正确，但教师可引思论证：这个结论正确吗？你能证明吗？以引导学生课后思考、论证，培养他们不轻信迷信，敢于在学习中进行自我定位。
4.循“斑”捕“豹”——让学生在问题探究中学会深刻的思维。课本中的很多问题都有其深刻的背景，或为某一般性结论的特殊情形，或蕴涵着某种规律、方法等。教师要能善于组织学生循“斑”捕“豹”，诱导学生分析归纳、合情推理或延伸探究，就能为学生尝试创造性的学习构筑平台，就能让学生在更深的层次上、更高的观点下加深对问题的理解，就能培养他们善于观察、比较、分析、归纳与探究的意识和能力。这是思维深刻性培养的一个增长点。
二、思维的广阔性
思维的广阔性是指思路宽广，善于多角度、多层次地进行探求。数学思维广阔性指的是对一个数学问题能从多方面考虑；对一个对象能从多种角度观察；对一个题目能想出多种不同的解法，即一题多解。数学思维广阔性的培养具体应从两个方面着手，即一题多种解法和一题的多种演变。
与思维广阔性相对立的是思维单向性，即在解决问题时不善于寻找和运用问题中所需的全部材料，只能从一个方面考虑问题。例如有4×6=24个方格，每个方格可以放置一个奶瓶，现要放置18个奶瓶，但横竖都要保持偶数，问如何放置？若用“0”表示放奶瓶，很难兼顾题中要求；若用不定方程解，又“小题大做”了。现从反方向来考虑，用“×”表示不放奶瓶，则只需在6个方格上打“×”，使横竖都为偶数就可以了。可见用后面这种方法就简单多了。思维的广阔性要求从多方面考虑问题，上面提到的方面就是平时提到的逆向思维，这对开阔思路是很有益的。
三、思维的灵活性
思维的灵活性是思维活动的灵活程度，主要表现为具有超脱出习惯处理方法界限的能力。即一旦所给条件发生变化，便能改变先前的思维途径，找到新的解决问题的方法。思维的灵活性主要表现为随新的条件而迅速确定解题方向；表现为以一种解题途径转向另一种解题途径的灵活性；也表现为从已知数学关系中看出新的数学关系，从隐蔽的形式中分清实质的能力。在教学中应具体从以下几方面人手去培养学生的思维灵活性。
