(第一节 )思维与数学思维
一、思维
学生的学习，不仅要通过感知认识事物的个别属性和外部联系，获得感性认识，而且还需要在感性认识的基础上，通过复杂的思维活动，认识事物的本质和规律，获得理性认识。人脑对客观事物的本质和规律的概括及间接的反映过程就称为思维。
思维最显著的特性是概括性。思维之所以能揭示事物的本质和内在规律性，主要来自抽象和概括的过程，即思维是概括的反映：以大量的已知事实为依据，在已有知识经验的基础上，舍弃个别事物的个别特征，抽取它们的共同特征，从而得出新的结论。概括性是思维研究的一个重要方面，概括水平是衡量思维水平的重要标志。
间接性是思维的另一特性。思维要依靠感性认识，但远远超脱于感性认识的界限之外，去认识那些没有直接感知过的或根本无法感知到的事物，以及预见和推知事物发展的进程。思维之所以具有间接性，关键在于知识与经验的作用，它是随着主体知识经验的丰富而发展起来的，因此知识和经验对思维能力有重要影响。闻一知十、由此及彼等都是思维间接性的体现。
思维按照活动中抽象概括的水平，可以分为三个层次：直观行动思维、具体形象思维和抽象逻辑思维。
直观行动思维就是在实际操作中进行的依赖于实际行动为支柱的思维，从动作到动作是这种思维的主要特征。具体形象思维是凭借事物的知觉形象和表象进行的思维，仍带有直观性和具体性，其基本形式是表象。抽象逻辑思维又分为形式逻辑思维和辩证逻辑思维两种形式。形式逻辑思维是按照形式逻辑的规律而进行的思维，同一律、矛盾律、排中律和充足理由律是这种思维的基本规律。辩证逻辑思维是抽象逻辑思维的高级阶段，是按照辩证逻辑的规律而进行的思维。
二、数学思维及发展
数学思维是人脑和数学对象交互作用并按一般的思维规律认识数学规律的过程。在数学学习中，随着学习内容的不断加深和抽象概括水平的逐步提高，学生的数学思维也逐渐由直观行动思维发展到抽象逻辑思维。当然，由于数学思维活动的复杂性，这三种思维成分之间往往又能互相渗透。
初中学生对数学思维的发展具有两个主要特点：抽象逻辑思维日益发展，并逐渐占有相对优势，但具体形象思维仍起重要作用；思维的独立性和批判性有了显著的发展，他们往往喜欢怀疑和争论问题，不随便轻信教师和书本的结论。当然初中生思维的独立性和批判性还是很不成熟的，还容易产生片面性和表面性，这些特点是和他们的知识经验的不足相联系的。
高中学生的数学思维达到了更高的水平。首先思维是有了更高的抽象性和概括性，并开始形成辩证逻辑思维。如果说，初中学生的数学思维还属于经验型的话，那么高中学生的思维则已明显地由经验型转向理论型，抽象逻辑思维渐占主导地位。其次是高中学生的思维具有鲜明的意识性；注意力更加稳定，观察力更加精确、深刻，能够发现事物的本质和规律；在记忆力方面，有意记忆和理解记忆已占主导地位。
(第二节 )中学数学思维方法
数学思维方法是指数学思维过程中运用的方法，它们分别是观察与实验；比较、分类与系统化；演绎、归纳与数学归纳法；分析与综合；抽象与概括；一般化与特殊化；模型化与具体化；类比与映射；联想与猜想等。这些方法是数学思维操作的基本手段，它们和思想内容、思维形式以及思维品质相互联结，是数学思维结构的主要成分。从这些方法的性能考察，其中有些侧重于探索、猜想或发现性，属于非严格的似真推理范畴，另一些侧重于求解、论证或整理性，属于严格的逻辑推理范畴。
一、观察
观察是人们为了认识事物的本质和规律，通过感觉器官或同时借助于一定的科学仪器，有目的、有计划地考察、描述各种自然现象自然发生的一种方法。它以感知为基础，常和思维结合在一起。
观察法是数学思维过程必需的和第一位的方法，数学中许多重要的发现都源于实际观察。例如人们熟知的等量公理，就是从对现实世界数量关系的长期观察和计算中，经过分析得出的结论。就连被誉为“纯粹之皇冠”的数论也是在观察基础上发展起来的一门科学。
进行观察要注意三点：一是要有意识、有目标，处处留心；二是要有基础，有必要的相关知识，否则难以看出“门道儿”；三是要有方法，要抓住要领，尤其要特别注意从个别中想到一般，从平常中发现异常。
二、实验
实验是人们根据一定的研究目的，运用一定的物质手段，在人为地控制或模拟自然现象的条件下，使自然过程或生产过程以纯粹的、典型的形式表现出来，暴露它们在天然条件下无法暴露的特征，以便进行观察、研究、探索自然界的本质及其规律的一种研究方法。
任何实验都和观察相联系，观察是实验的前提，实验是观察的证实和发展。
在数学中，解决某些实际问题时的想象实验性推理，就属于思想实验的运用。
三、比较
比较是确定有关事物的共同点和不同点的思维方法。数学中的比较是多方面的，包括量的大小比较，形式结构和关系的对比，数学性质的比较等。在解题过程中，它既是一种整体的思考方法，也经常在各个局部加以运用。从数学概念的发展、命题的推演或证明到数学问题的解决，都渗透着比较方法的运用。
四、分类
分类是以比较为基础，按照事物间性质的异同，将相同性质的对象归入一类，不同性质的对象归入不同类别的思维方法。分类原则是：既不重复，又不遗漏。其标准有：
(1)依据数学概念的内涵，按有无此属性分类；(2)依据定理、公式、法则适用范围的限制，按限制与突破限制分类；(3)依据图形相对位置的变化，按变化的“临界位置”分类；(4)依参数的变化，按变化使结论产生“质变”的临界值分类。
分类讨论的一般步骤是确定分类标准、恰当分类、逐类讨论及归纳结论。
分类讨论问题时要注意：①识别讨论的情境，确认讨论的对象，是分类讨论的前提；确定分类的标准是分类讨论的关键；逐类严密地讨论是分类讨论的主体。②数学概念的内涵、公式法则适用的限制、图形相对位置的变化、参数取值的变化是确定分类标准的主要依据，思想的整体意识是正确分类讨论的保证。
五、系统化
系统化是在分类的基础上，把整体中各个部分的相关性按照某种顺序组成体系的思维方法。它能以不同的侧面揭示客观事物之间及其内部的错综复杂性，能反映客观世界的整体性和统一性。但是客观事物的本质具有不同的层次，因此系统的表述对于某一整体而言不是唯一确定的，通常需要由思维的目的和研究的角度来决定。例如数学中的各种概念系统、性质系统、公式系统、方法系统就是具有以不同的分类标准构成的不同的系统。
六、演绎
演绎是由一般性较大的前提，推出一般性较小的结论的推理方法，也是由一般到特殊的思维方法。运用演绎思维进行推理，其依据是已知的事实或真命题，推得的结果就一定正确，因此演绎方法是数学证明过程中经常使用的严格推理方法。它侧重于求解和论证，对训练技能、技巧有很大的作用。
演绎推理结构由三个判断组成，通称“三段论”，是由大前提、小前提及结论构成的。“三段论”中的三个判断，每个判断中都含有两个概念，称为名词，每个名词在“三段论”中各重复两次，所以有三个独立的不同的名词出现，这是“三段论”的特点，也是演绎推理的特色。其推理反映命题的一个因果关系，大、小前提是“因”，结果是“果”。
演绎推理不论采用何种形式，除前提必须正确外，还必须注意前提对于结论而言的充分性和必要性，否则还会产生错误的结论。
七、归纳
归纳是指通过对特例的观察和综合去发现一般规律的方法。
波利亚指出：归纳过程的典型步骤为：首先找到某些相似性；然后是一个推广的步骤，即把所说的相似性推广到一个明确表述的一般命题；最后，我们又应对所得出的一般命题进行检验。例如凸n边形内角和定理就可由归纳法加以证明。
但是数学史上有很多由于运用归纳法而导致错误结论的例子，即使是数学大师也不例外。著名数学家费尔玛曾考察过形如22n+1的数(n∈N)均为素数。但是欧拉不久发现：当n=5上式的结果是4294967297，其中641就是它的一个因数，即225+1不是素数，从而推翻了费尔玛的结论。
尽管由归纳法所得的结论未必可靠，可它具有由特殊到一般、具体到抽象的认识功能，对于科学的发展是十分有用的。这正如高斯所说，他的定理许多是靠归纳法发现的，证明只是一个补行的手续。
归纳法往往对研究对象无限的问题就不能保证其正确性，因此需要一种新的方法来解决问题，数学归纳法就是这样的一种方法。
八、数学归纳法
数学归纳法是用来证明与自然数有关的数学命题的一种方法。通过“有限”步骤，证明对“无限”多个自然数都是正确的。证明步骤：①当n取第一个值n0时，某个论断成立；②假设当n=k时某论断是正确的，证明当n=k+1时，论断也是正确的。从而可以肯定这个论断对于n≥n0的所有自然数都成立。
其第一步证明，也叫奠基步，是递推的基础，它解决了矛盾的特殊性。第二步证明是递推的依据，两步缺一不可。它是必然性的推理方法。
演绎与归纳从辩证观点来看，两者是相辅相成、对立统一的，演绎必须以归纳为基础，否则就无法发现更高层次的新知识；归纳要以演绎为指导，归纳的结果往往用演绎推理来证明。归纳和演绎的互相渗透，在数学归纳法中体现得最明显。数学归纳法中的两个步骤，固然是归纳推理，但在每一步之中，其中的证明过程又是演绎推理了。
九、分析与综合
分析与综合是数学思维的两种基本方法，是其他数学思维方法的基础。它们在数学思维过程中以三种不同的形式出现。
首先，分析是把研究对象分解为它的各个组成部分，然后对这些组成部分分别加以研究，从而认识事物的本质和规律的一种思维方法。例如，为了系统地、深入地理解圆锥曲线的性质。我们按离心率e的取值范围将其分为椭圆、双曲线和抛物线，逐一研究各自的性质，继而分析它们之间的联系和区别。综合是把研究对象的各个组成部分联系起来加以研究，从而在本质上把握事物的性质和规律。例如将椭圆、双曲线和抛物线的性质及相互关系统一进行研究，挖掘共同属性，得到圆锥曲线最本质的内容：到定点和定直线的距离之比是常数的点的轨迹。
其次，分析法还是特指从结果追溯到产生这一结果的原因(执果索因)的一种思维方法，而综合法则是一种从原因推导到由原因产生结果(由因导果)的思维方法。在这种意义下，解答应用题时，算术方法体现的是综合，而代数方法体现的是分析。
十、抽象和概括
抽象是把研究的事物从某种角度看待的本质属性抽取出来进行考察的思维方法。也即把大量生动的关于现实世界空间形式和数量关系的直观背景材料，进行去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里的加工和制作，从而提炼数学概念，构造数学模型，建立数学理论的过程。数学中的概念、关系、定理、方法、符号等都是数学抽象或再抽象的思维结果。抽象性是数学科学的本质特点之一，因此抽象思维是数学学习的基础之一。在数学教学中，抽象思维方法的训练可以从具体事物或实际问题的数学抽象做起，逐步提高抽象度，逐步发展抽象思维能力。
我们以著名的哥尼斯堡七桥问题来对抽象和概括方法进行一下直观认识。
18世纪东普鲁士哥尼斯堡有条普莱格尔河，这条河有两条支流，在城中心汇成大河，中间是岛区。河上有七座桥，问能否从某地出发，经过每一座桥一次且仅一次，然后返回出发地？
思考方法：数学中的图论，最早就开始于哥尼斯堡七桥问题，这个问题很长时间没有得到解决，后来在1736年瑞士数学家欧拉利用数学抽象方法，成功地作出了解答。具体地说，欧拉敏锐地看到，整个问题与所走路程的长度无关；而且，岛区与河岸无非就是桥梁的连接地点。因此，欧拉把两个岛和河两岸抽象为四个点，把七座桥抽象为七条线。这样七桥问题便等价于一笔画出如下图所示的问题。
哥尼斯堡七桥问题
由此可看出，数学抽象具有三个显著的特征：首先，数学抽象有着明确的目标，都是撇开对象的具体内容，仅仅保留空间形式或数量关系；其次，数学抽象适用的范围广泛，既有以提炼数学概念为基本目的的表征性抽象，又有旨在探索数学理论的原理性抽象；再次，数学抽象有着丰富的层次，不仅表现为直接从现实世界中抽出相应的空间形式和数量关系，而且还表现为在已有数学知识的基础上，抽象新概念，建立新理论。
概括是把抽象出来的若干事物的共同属性归结出来进行考察的思维方法。概括要以抽象为基础，它是抽象的发展。抽象度愈高，则概括性愈强，将概括中获得的概念和理论运用于实际时，其迁移范围就更广。也就是说，高度的概括对事物的理解越具有一般性，则获得理论或方法就越有普遍的指导意义。
抽象和概括是密不可分的。抽象可以仅涉及一个对象，而概括则涉及一类对象。以不同角度考察同一事物会得到不同性质的抽象，即不同的属性。而概括则必须从多个对象的考察中寻找共同的相通性质，抽象思维则侧重于分析、提炼。概括思维则侧重于归纳、综合。数学中的每一个概念都是对一类事物的多个对象进行观察和分析，抽象出每个对象的各种属性，再通过归纳，概括出各个对象的共同属性而形成的。在解决数学问题方面，得出数学的模型、模式，总结出解题的规律和方法都是通过分析、比较、抽象、归纳等思维环节，最后进行理论概括的结果。
十一、特殊化与一般化
梅森是英国开放大学数学教学系的主任，他集中研究了数学中的特殊化和一般化方法及其在解题过程中的作用。他指出特殊化与一般化正是数学思想的核心，同时也是怎样解题的关键所在。
特殊化通常是指考虑一般性命题的特殊例子，或如波利亚所说：“是从考虑一组给定的对象集合过渡到考虑该集合的一个较小的子集，或仅仅一个对象。”
特殊化的思维作用包括以下两个方面：
