（2）这时老师可以给出进一步的问题：如何求从第i个城市到第j个城市经过一个大城市的不同路的条数。问题转化为：如何求从vi到vj长度为2的不同路的条数？大家讨论：由于如果从第i个城市到第k个城市有一条长为1的路，从k城市到第j城市有一条长为1的路，则决定了一条从第i个城市到第j 个城市有一条长为2的路。故第i个城市到第j个城市所有长为2的路的条数就是对这样的k求和，即为Σn
k＝1
aik akj。而这恰是上面建立的矩阵A的平方中的第i 行、第j列的元素。同学们得出结论：A2中第i 行第j 列的元素为第i 个城市到第j 个城市的长度为2的路的条数。
（3）推广此结论即得到：Ak中第i行、第j列的元素为从第i个城市到第j个城市的长度为k的路的条数。
模型求解：
（1）求Ak的方法：如果k较小，则直接利用矩阵的乘法。
（2）如果k很大，则先求A的变换矩阵P（因为A是实对称的，这样的P一定存在），使得A＝PJP－1，其中J是对角矩阵，Ak＝PJk－1。
（二）例子
如果4个大城市A，B，C，D之间的道路状况为：A，B之间有两条路，B和C之间有一条路，C和D间有一条路，A和D之间有一条路，A和C之间有一条路。D 城市有一条不经过其他城市的道路又回到D城市的路。
因为在A2中第1行、第3列的数是3，所以从v1到v3长度为2的路有3条；因为在A2中第2行、第3列的数是2，所以从v2到v3长度为2的路有2条。因为在A2中第1行、第2列的数是1，所以从v1到v2长度为2的路有1条。
这种方法借助实际问题来演绎数学，调节数学课堂的气氛，调动学生的学习积极性，为学生提高能力打下良好的基础。这种方法既让学生学会了建模的思想，又让学生巩固了所学的知识。
参考文献
［1］LAY DC.线性代数及其应用.沈复兴，傅莺莺，莫单玉，译.北京：人民邮电出版社，2007.
［2］刘彦佩.地图的代数原理.北京：高等教育出版社，2007.
“微积分”和“几何与代数”课的关联教学
缪克英
（北京交通大学理学院，100044）
摘要：“微积分”和“几何与代数”课，是我校大一新生要上的两门重要基础课，两门课程的知识之间有许多关联的地方，我在多年同时进行“微积分”和“几何与代数”课的教学中，实施关联教学。本文列举了笔者在实施关联教学中的一些例子。这种方式的教学，可以起到事半功倍的效果。
关键词：微积分 几何与代数 关联教学
一、引言
由于数学的高度抽象性和严密的逻辑性，很多学生都觉得数学难学。而我校大一的新生，一开学就面临“微积分”和“几何与代数”两门数学课，周一到周五的每一天学生都要学习一大堆抽象的数学概念，这给学生的入门学习造成了困难。因为课程的学时少、内容多，一些知识点学了以后，后面就少有提到，学生易于忘记，也感觉不到学习它们有何用处。基于这些问题，在这几年的教学中，我在对同一个班同时进行两门课程的教学时，实施了两门课程的关联教学，即在一门课程的教学中，当能够用到另一门课程的知识点，或为这门课提供例题时，就尽量提及或使用，使另一门课程的知识得到多一次的复习、巩固和应用，使抽象的概念更显具体，同时也开阔了学生的视野。以下是我在两门课程的教学中，进行关联教学的几个例子。
二、“微积分”课程中的关联教学
行列式是“几何与代数”课一开始就要学的基本概念，它作为重要的工具，有着广泛的应用，在“微积分”课程中的应用也随处可见。在学习了导数的四则运算后，我举了下面的例题。
证明基础上，利用数学归纳法和行列式按行展开的性质，即可证明推广的结果。这可以留给学生自己完成。通过这个例题，不仅复习了行列式的相关知识，还使学生认识到行列式的元素可以是数，也可以是函数等别的对象。
利用克莱姆法则解线性方程组是“几何与代数”课的重要的知识点，它在“微积分”程中的应用也随处可见，如在学习了不定积分后，我举了下面的例题。
这个例题复习到了“几何与代数”课的克莱姆法则解方程组理论，还用到了计算行列式的知识。另外，在多元隐函数方程组求导、重积分的换元积分及高阶非齐次微分方程的常数变易求解法等处都可以类似地处理。
在讲多元函数的极值问题时，我举了下面的例题。
这是一个数据拟合的实际应用例题，在这个例题的解法二中，回忆到了“几何与代数”课中配方法化二次型为标准形，在学习化二次型为标准形时，学生常常对为什么要把二次型化为标准形感到困惑，而学生从这个例题也看到了把二次型化为标准形的一层意义。
“几何与代数”课中的线性方程组解的理论和“微积分”课中的线性微分方程的解的理论，这两者之间有异曲同工的结果，所以在讲线性微分方程的解的理论时，我在复习线性方程组解的理论基础上进行讲解，一边复习了旧的知识，一边学习了新的知识，使学生很容易就掌握新的理论，收到好的效果。
三、“几何与代数”课程中的关联教学
在讲到线性空间的定义后，笔者列举了“闭区间［a，b］上全体连续函数组成的集合”、“开区间（a，b）上全体可导函数组成的集合”、“次数小于n 的全体实系数多项式组成的集合”等，都是线性空间，分别记为C0［a，b］、D0（a，b）、Rn ［x］。在讲实数域上线性空间的内积时，笔者列举了在线性空间C0［a，b］上的一种内积定义方式：在“几何与代数”课中，学生经常看到的是以n 元数组为对象的向量。其实，向量的对象是很广泛的，这个例题使学生看到了以函数为对象的向量，也看到了内积的不同定义方式和这种定义方式下将线性无关向量组化为标准正交基的过程，拓展了学生的思路。在讲了矩阵的相似对角化问题后，笔者举了下列例题：例5某城市“上班族”的交通方式有两种：公共交通和个人交通。统计资料表明，当前使用公共交通者中，在下一年度有70%继续使用公共交通，其余转去个人交通；而当前使用个人交通者中，在下一年度有80%继续使用个人交通，其余转去公共交通。若初始年度使用公共交通和个人交通的百分比分别为a0，b0，问多年后使用两种交通工具者百分比的变化趋势如何？与初始年的百分比有无关系？
由此可见，多年以后使用公共交通和个人交通的百分比趋近于40%和60%，且结论与初始年的百分比无关。
这个实际应用的例题，使学生理解了矩阵对角化的意义，再结合了“微积分”的数列求极限，让学生看到了数列极限的矩阵表现形式，开阔了学生的视野。
以上是我在两门课程中进行关联教学的几个例子，在两门课程中进行关联教学的地方还很多，这种方式的教学，可以起到事半功倍的效果。
参考文献
［1］北京交通大学数学系微积分组.微积分.北京：北京交通大学出版社，2004.
［2］北京交通大学数学系几何与代数组.线性代数与解析几何.北京：北京交通大学出版社，2004.
［3］北京交通大学数学系微积分组.微积分辅导.北京：北京交通大学出版社，2006．
［4］北京交通大学数学系几何与代数组.线性代数与解析几何辅导．北京：北京交通大学出版社，2004.
［5］李尚志.线性代数.北京：高等教育出版社，2006.
982智能组卷及考试分析系统的研究和设计实现
黄晓鸣，宋莉
（北京交通大学理学院，100044）
摘要：分析了一个实用的智能组卷系统之设计结构及其实现框架，提出了一种新的试题库自动组卷算法，能够使组成的试卷更科学、合理。同时介绍了选题算法模型，并给出数据模拟计算结果。
关键词：试题库系统 正态分布 智能组卷 算法模型
一、引言
近十年来，科学技术的突飞猛进为人类社会带来了一系列的深刻变革。信息通信技术的发展和互联网的广泛应用，正在改变着人类的生产方式、生活方式、交往方式、学习方式和教育方式。社会经济的发展对人的素质提出了更高的要求，同时也对高等教育的发展产生了深远的影响。在信息化社会中，利用信息技术手段提高高等教育机构的运行效率，扩大受教育人群范围，探索新的教学模式，已成为世界各国高等教育改革与发展的重要组成部分。
自20世纪90年代以来，国际教育界出现了以信息技术（IT）的广泛应用为特征的教育信息化发展趋向，世界上发达国家和地区高度重视信息技术对社会和教育的影响和作用，重新调整教育的培养目标，制订教育改革方案，采用新的教学手段，培养适应信息化社会的人才，增强本国或本地区综合实力和国际竞争力，迎接新世纪的挑战。
新的信息技术被不断引入教学，使得教学内容呈现方式、学生学习方式、教师教学方式、师生互动方式都发生了深刻变化。国内各高校都在积极进行教学改革，探索如何将信息技术更好地融入教学之中。计算机辅助教学（ComPuter Assistant Instruction，CAI）已经成为当前高等教育的重要组成部分，借助于计算机实现试题库的建立并实现自动组卷是目前CAI研究和应用的重要方向之一。
智能组卷系统是实现考试无纸化和标准化、网络化学习与远程教育在线测试等的基础。
智能组卷系统实现的主要难题之一是如何保证自动生成的试卷既能满足出题者的要求，又能保证其科学性和客观性。高效、简单、通用、鲁棒性好的智能组卷算法则是实现实用的智能组卷系统的关键。目前应用的智能组卷算法常因约束条件局部不满足而导致组卷失败，或选取试题缺乏随机性，或选取试题的难度分布不科学而使组卷结果不甚理想。
“高等数学”课（包括微积分、解析几何）是高校理工科各专业及部分文科管理类专业学生必修的重要基础课。学生对于该门课程知识掌握的好坏会直接影响后继其他数学课程及专业课程的学习。我校历来重视高等数学课程的教学，通过多年研究和探索，逐步建立起了一套适合我校办学需要和办学特点的高等数学课程教学体系。
由于我校学生人数多，高等数学课的受众面广，再加上我校目前对高等数学课程采用分级教学模式，因此对该课程的考核方式、命题质量、考试次数等均提出了更高的要求。特别是在考试命题和组卷过程中，为了能够客观准确地考核学生对该课程的学习情况，每次命题时总要花费很多人力、时间来筛选试题、进行组卷，但由于种种原因，命题中难免出现诸如题型、题量、难易程度把握不当的情况，从而在一定程度上影响了考试效果，也为任课教师最终对学生该门课程学习情况的评价带来不便。
虽然目前国内已有几种类似软件系统在使用（如教育部的试题库软件、早期西安交大的题库软件等），但根据我校部分教师使用这些软件的体会，国内类似软件存在以下几个方面的问题：
（1）命题时选题的科学性、客观性不甚理想；
（2）选题方法一般只采用随机抽取试题组卷或回溯法生成试卷，试卷中单题性能与整卷功能不相匹配；
（3）入库试题缺乏分类、分级评价标准；
（4）试题类型不丰富；
（5）题库的题量不大；
（6）软件使用的方便性、灵活性不足。
（7）没有将组卷与考试结果的分析结合起来，功能单一；
（8）大多数软件内核使用的是早期软件设计技术，没有充分发挥现有计算机软硬件平台的优势。
鉴于以上情况，我们研制开发了一套高等数学试题库软件系统。该系统可为我校高等数学课的教学考核提供新的方法和手段，加强实验型教学；可为提高公共数学课教学质量，实现我校研究型大学的建设目标做出贡献。
二、系统设计目标
（1）设计实现一套科学、合理、实用的高等数学试题库，并设计实现智能组卷及考评分析系统软件；
（2）在选题算法模型、组卷方案方面提出创新性算法，最终实现的软件系统在国内同类软件中处于技术领先地位；
（3）在完成高等数学试题库的基础上，能够将系统扩充至能够处理更多科目（如其他工科数学课程等）的试题；
（4）实现的软件能够与TeX/LaTex 软件相结合，产生极佳的排版输出效果；
（5）充分利用现有的网络资源并发挥其优势，实现网上测试考核，并向学生提供通过网络进行自测、自考的功能；
（6）最终实现本软件系统的商品化，在国内市场占有一席之地。
三、系统设计内容
（1）选题模型（算法）分析设计；
（2）多种模型（随机性模型、确定性模型、基于遗传算法的模型等）的分析、比较；
（3）考核结果评价、分析模型；
（4）入库试题的分类、分级评价标准体系（模型）——专家咨询及评价系统；
（5）系统结构分析设计。
确定软件结构和功能，选择软硬件平台，实现以下功能。
后台数据库与前端应用界面的交互。
系统架构：后端SQL Server（Database Server）、IIS（Web Server）；
前端IE＋客户端软件；
开发工具Visual C＋＋、网页设计工具。
支持多种文档格式（Word，Excel，PPT，TeX/LaTeX等）的转换、合并、存储、显示、打印等。
数据压缩、加密。
软件实现：VC＋＋、ASP程序设计。
四、本系统的特色
（1）选题科学、合理，既可以自动完成，又可以通过人工干预，实现人机结合，为命题过程提供灵活快捷的手段。
（2）建立试题入库的评价标准。
根据专家建议对入库试题进行分类、分级整合，确定难度系数；通过专家确定考题难度级别，分为六级：容易、较容易、难、较难、很难、极难。
参考、选用通用类考试题，如研究生入学考试题等。
