第一课时
【教学目标】
掌握二项式定理有其推导方法以及二项展开式的有关特征,并能用它们计算和论证一些简单问题。
【教学过程】
一、设置情境
问题某人投资10万元,有两种获利的可能供选择。一种是年利率11%,按单利计算,10年后收回本金和利息。另一种年利率9%,按每年复利一次计算,10年后收回本金和利息。
试问,哪一种投资更有利?这种投资比另一种投资5年后可多得利息多少元?
分析:本金10万元,年利率11%,按单利计算,10年后的本利和是10×(1+11%×10)=21(万元)
本金10万元,年利率9%,按每年复利一次计算,10年后的本利和是10×(1+9%)10
那么如何计算(1+9%)10的值呢?能否在不借助计算器的情况下,快速、准确地求出其近似值呢?这就得研究形如(a+b)n的展开式。
二、探索研究
由(a+b)2=a2+2ab+b2=C02a2+C12ab+C22b2
(a+b)3=a3+3a3b+3ab2+b3
=C03a3+C13a2b+C23ab2+C33b3
那么(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)
展开后,它的各项是什么呢?
容易看到,等号右边的积的展开式的每一项,是从每个括号里任取一个字母的乘积,因而各项都是4次式,即展开式应有下面形式的各项:a4,a3b,a2b2,ab3,b4
现在来看上面各项在展开式中出现的次数,也就是看展开式中各项的系数是什么?
在上面4个括号中:
每个都不取b的情况有1种,即C04种,所以a4的系数是C04;恰有1个取b的情况下有C14种,所以a3b的系数是C14;恰有2个取b的情况下有C24种,所以a2b2的系数是C24;恰有3个取b的情况下有C34种,所以ab3的系数是C34;4个都取b的情况下有C44种,所以b4的系数是C44;因此:
(a+b)4=C04a4+C14a3b+C24a2b2+C34ab3+C44b4.
请同学们归纳、猜想(a+b)n=?
一般地,对于任意正整数n,上面的关系式也成立,即有:(a+b)n=C0nan+C1nan-1b+C2nan-2b2+…+Crnan-rbr+…+cnnbn(n∈N)
这个公式所表示的定理叫做二项式定理,右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式。
在这里,教师应当指出,上面的定理严格来说是必须证明的,由于知识的局限,以后再证明。
二项展开式有以下特征:
(1)共有n+1项。
(2)各项里a的指数从n起依次减小1,直到0为止;b的指数从0起依次增加1,直到n为止。每一项里a、b的指数和均为n。
利用二项式定理可以求二项展开式。
例1展开(1+1x)4.
解:(1+1x)4=1+C14·(1x)+C24(1x)2+C34(1x)3+C44(1x)4=1+4x+6x2+4x3+1x4.
例2展开(2x-1x)6.
解:先将原式化简,再展开
(2x-1x)6=(2x-1x)6=1x3(2x-1)6
=1x3[(2x)6+C16(2x)5+C26(2x)4-C36(2x)3+C46(2x)2-C56(2x)+C66]=1x3(64x6+192x5+240x4-160x3+60x2-12x+1)
=64x3-192x2+240x-160+60x-12x2+1x3.
例3用二项式定理证明:
(1)1110-1能被100整除;
(2)nn-1-1能被(n-1)2整除。(n≥3,n∈N+)
证明:(1)∵1110-1=(10+1)10-1
=(1010+C110·109+C210·108+…+C910·10+1)-1
=1010+C110+C110·106+C210·108+…+102
=100(108+C110·107+C210·106+…+1)
∴1110-1能被100整除。
(2)可先让学生仿照(1)证明,教师再讲解。
∵nn-1=[(n-1)+1]n-1-1
=[(n-1)n-1+C1n-1(n-1)n-2+C2n-1(n-1)n-3+…+cn-2n-1(n-1)+1]-1
=(n-1)n-1+C1n-1+C1n-1(n-1)n-2+C2n-1(n-1)n-3+…+C1n-1(n-1)
=(n-1)2[(n-1)n-3+C1n-1(n-1)n-4+…+1]而n≥3,n∈N+∴(n-1)n-3+C1n-1(n-1)n-4+…+1是正整数。
故nn-1-1能被(n-1)2整除。
三、演练反馈
1.计算:(a+1)5-(a-1)5.
(由一名学生板演后,教师讲解)
2.求证:32n+C1n·32n-2+C2n·32n-4+…+cn-1n·32+1=10n.
(由一名学生板演后,教师讲解)
3.求(x2+3x+2)5展开式中含x项的系数。
(学生练习后,教师分析讲解)
4.解决本节课开始提出的问题。
参考答案
1.解:(a+1)5-(a-1)5
=[(a)5+C15(a)4+C25(a)2+C35a+1]-[(a5)-C15(a)4+C25(a)3-C35(a)2+C45a-1]=2[C15(a)4+C35(a)2+2]=10a2+20a+4.
2.证明:右边=10n=(9+1)n=(32+1)n=32n+C1n·32(n-1)+C2n·32(n-2)+…+cn-1n·32+1
=32n+C1n·32n-2+C2n·32n-4+…+cn-1n·32+1=左边故原式得证。
3.解法1:(x2+3x+2)5=[x2+(3x+2)]5
=x10+C15·x8(3x+2)+…+C45·x2(3x+2)4+C55(3x+2)5.
显然只有(3x+2)5中含有x项,其系数为C55·C45·3·24=240.
解法2:由于(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5
=(x5+C15x4+…+C45x+1)(x5+C15·x4·2+…+C45x24+25)
∴展开式中含x项的系数是
32C45+16C45=240.
4.解:10(1+9%)10=10(1+0.09)10
=10(1+C110×0.09+C210×0.092+…)
=22.645
由此可见,按年利率9%每年复利一次计算的要比年利率11%单利计算更有利,10年后多得利息1.645万元。
四、总结提炼
1.二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续,它所研究的是一种特殊的多项式——二项式的乘方的展开式,要理解和掌握展开式的规律。利用它就可以对二项式展开,进行计算或证明。
2.对课本第105页这样一段话“容易看到,等号右边的积的展开式的每一项,是从每个括号里任取一个字母的乘积”,要能透彻理解,在解题中适时应用会显得很方便。
五、板书设计
二项式定理(一)
(一)设置情境
问题
(二)二项式定理及
其结构特征
(三)例题与练习
例1
例2
例3
练习
(四)小结
第二课时
【教学目标】
会用二项式的通项公式求展开式中的指定项或指定项系数。
【教学过程】
一、设置情境
问题试判断(3x2+1x)10的展开式中有无常数项?如果有,求出该常数项;如果没有,说明理由。
分析:这个问题仅凭观察、想象,无法判断;但展开又嫌太烦且无必要,那么有无良法呢?
二、探索研究
1.二项展开式的通项公式
二项展开式中的Crnan-rbr叫做二项展开式的通项,用Tr+1来表示。即通项为展开式的第r+1项。
Tr+1=Crnan-rbr.其中Crn(r=0,1,2,…,n)叫做二项式系数。
对于(a-b)n的展开式,其通项公式为
Tr+1=(-1)rCrnaa-rbr.
由于其通项一般记为Tr+1,所以r不是项数,r+1才是项数;反过来,当已知项数时,将它减去1,才得到r.
2.二项展开式的通项公式的作用
二项展开式的通项公式,反映出展开式在指数、项数、系数等方面的内在联系,因此能运用二项展开式的通项公式求特定项、特定项系数、常数项、有理项及系数最大、绝对值最大的项。
3.例题分析
例1求(x+a)12的展开式中的倒数第4项。
T10=C912·x12-9a9
=C312x3a9
220x3a9
例2(1)求(1+2x)7的展开式中的第4项的系数;(2)求(x+1x)9的展开式中x3的系数。
解:(1)展开式的第4项为
T4=C37(2x)3
=280x3
∴第4项的系数是280.
(2)设展开式的第r+1项为含x3的项,则Tr+1=Cr9x9-r(-1x)r
=(-1)rCr9x9-2r
∴9-2r=3r=3
即展开式中的第4项含x3,其系数为
(-1)3C39=-84.
三、演练反馈
1.求(3ab+b3a)21的展开式中a、b的指数相等的项。
(由一名学生板演后,老师指出“某一项”与“某一项系数”的区别)
2.解决设置情境中的问题。
(由一名学生板演后,教师讲评)
3.求(x+3y)100的展开式里有多少个有理项?
(学生练习后,教师讲解)
4.求(2x2+1x)9的展开式中第3项的二项式系数及第4项的系数。
参考答案
1.解:设展开式中的第r+1项a、b的指数相等,则Tr+1=Cr21(3ab)21-r(b3a)r=Cr21a21-r3-r6br2-21-r6
依题意得:
21-r3-r6=r2-21-r6
解得r=9
所以a、b指数相等的项是第10项,即:
T10=C921A52b52=293930a52b52.
2.解:假设展开式的第r+1项为常数项,则Tr+1=Cr10(3x2)10-r(1xr)
=310-rCr21x20-52r
依题意:
20-5 2r=0∴r=8
故在(3x2+1x)10的展开式中有常数项,它是第9项,即T9=C810·32=405.
3.解:设展开式的第r+1项为有理项,则:Tr+1=Cr100(x)100-r·(3y)r=Cr100x50-r2yr3
对于一切有理项,r2、r3必为整数,则r必是6的倍数。
又0≤r≤100,
∴r=0,6,12,…
96=0+6(n-1)解得n=17.
故(x+3y)100展开式中的有理项有17个。
思考:在本题中若问无理项有多少个,如何解决呢?
4.解:通项公式为Tr+1=Cr9(2x2)9-rCr9x18-3r故第3项的二项式系数为C29=36
第4项的系数为26C39=5376.
注意:二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念,前者是指Crn,而后者是指除字母外的部分。
四、总结提炼
二项展开式的通项公式反映了展开式的一般项,利用它可以求展开式中的任意指定项(如中间项、常数项、整数项、有理项等等)或指定项的系数。
五、板书设计
二项式定理(二)
(一)设置情境
问题
(二)探索研究二项展开式的通项公式
(三)例题分析
例1
例2
练习
(四)总结提炼
第三课时
【教学目标】
掌握二项展开式中的二项式系数的三条性质及有关推导方法,并能简单应用。
【教学过程】
一、设置情境
在杨辉的《详解九章算术》中载有一个“开方作法本源”图。如图所示,就是“杨辉三角”。那么这个图是如何得来的?它表达的是什么?这节课我们就来共同探讨这个问题!
二、探索研究
上节课我们已经知道
在二项式定理(a+b)n=C0nan+C1nan-1b+…+Crnan-rbr+…+cnnbn中,Crn(r=0,1,2,…,n)叫做二项式系数。
它们是一组仅与二项式的次数n有关的n+1个组合数,而与a、b无关,值得注意的是它们与展开式中的“系数”是有区别的。
1.“杨辉三角”的来历及规律
(a+b)n展开式中的二项式系数,当n=1,2,3,…时,如下表所示:(a+b)111
(a+b)2121
(a+b)31331
(a+b)414641
(a+b)515101051
(a+b)61615201561
这个表叫做二项式系数表,也称“杨辉三角”。
由学生观察这个表的规律,表中每行两端都是1,而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。当n不大时,可以根据这个表来求二项式系数。
(a+b)n展开式的二项式系数依次是