C0n，C1n，C2n，…，cnn
从函数角度看，Crn可看成是以r为自变量的函数f（r），其定义域是｛0，1，2，…，n｝
2．二项式系数的性质
1）对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等。这一性质可直接由公式Cmn=cn-mn得到。
2）增减性与最大值
由于
Ckn=n（n-1）（n-2）…（n-k＋1）k·（k-1）！
Ck-1n·n-k＋1k
所以Ckn相对于Ck-1n的增减情况由n-k＋1k决定。由n-k＋1k＞1k＜n＋12.
可知，当k＜n＋12时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。
因此，当n为偶数时，中间一项的二项式系数cn2n取得最大值；当n为奇数时，中间两项的二项式系数cn-12n、cn＋12n相等，且同时取得最大值。
3）各二项式系数的和
在二项式定理中，令a=b=1，则
C0n＋C1n＋C2n＋…＋cnn=2n.
这就是说，（a＋b）n的展开式的各二项式系数的和等于2n.
同时由于C0n=1，上式还可以写成
C1n＋C2n＋C3n＋…＋cnn=2n-1.
这是组合总数公式，表示在n个不同元素里，每次取1个、2个、…、n个元素的所有组合数的和。
3．例题分析
例1证明在（a＋b）n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。
证明：在展开式
（a＋b）n=C0nan＋C1nan-1b＋C2nan-1b＋C2nan-2b2＋…＋cnnbn中，令a=1，b=1，得（1-1）n=C0n-C1n＋C2n-C3n＋…＋（-1）ncnn.
就是：
0=（C0n＋C2n＋…）-（C1n＋C3n＋…）
∴C0n＋C2n＋…=C1n＋C3n＋…
即在（a＋b）n的展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数的和。
例2已知（3x-2x）n的展开式中，第4项的二项式系数是倒数第2项的二项式系数的7倍，求展开式中x的一次项。
解：依题意：
C3n=7cn-1n
整理得（n-1）（n-2）=6×7
∴n=0
设展开式中含x的项是第r＋1项，则
Tr＋1=Cr8（3x）8-r（-2x）r=（-2）rCr8x8-r3-r2
∴8-r3-r2=1
解得r=2
故展开式中含x的项为第3项，即：
T3=（-2）2C28x=112x.
三、演练反馈
1．已知（1-3x）n的展开式中的系数和比（x-2x）n的展开式中的二项式系数和大240，求（x-2x）n的展开式中的第3项。
（由一名学生板演后，教师讲评，着重指出“二项式数”与“系数”的区别）
2．在二项式（x-1）11的展开式中，求系数最小的项的系数。
3．求（2x＋3y）28的展开式中系数最大的是第几项？
（学生思考后，教师引导分析，展开式中系数最大的项不是中间一项）
4．设：（2x＋3）3=a0＋a1x＋a2x2＋a3x3。
求：（a0＋a2）2-（a1＋a3）2的值。
（学生练习后，教师讲解，指出“取特值”是二项式定理中常用的方法）
参考答案
1．解：依题意有4n-2n=240解得n=4于是（x-2x）4的展开式中的第3项是T3=C24 x2（-2x）2=24
2．解：因为在（x-1）11的展开式中，各项的二项式系数与项的系数相等或互为相反数，又展开式中二项式系数最大的项有两项，分别为第六项C511x6（-1）5、第七项C611x5（-1）6，所以系数最小的项的系数为-C511=-462
3．解：设展开式中第r＋1项的系数最大，则Cr28·228-r·3r＞Cr-128·229-r·3r-1
Cr28·228-r·3r＞Cr＋128·227-r·3r＋1
即3Cr28＞2Cr-128
2Cr28＞3Cr＋128整理得3（29-r）＞2r2（r＋1）＞3（28-r）
解得1625＜r＜1725
∴r=7
故第18项的系数最大。
4．解：在（2x＋3）3=a0＋a1x＋a2x2＋a3x3
令x=1，得（a0＋a2）＋（a1＋a3）=（2＋3）3
令x=-1，得（a0＋a2）-（a1＋a3）2=（3-2）3
两式相乘得
（a0＋a2）2-（a1＋a3）3=（-1）3=-1.
四、总结提炼
二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。
五、板书设计
二项式定理（三）
（一）设置情境
（二）探索研究
1．“杨辉三角”的来历及规律
2．二项式系数的性质
3．例题分析
例1
例2
练习
（三）总结提炼
第四课时
【教学目标】
用二项式定理与二项式系数的性质解答一些简单问题。
【教学过程】
一、设置情境
（a＋b）n=C0nan＋C1nan-1b＋…＋Crnan-rbr＋…＋cnnbn，是二项式展开式定理，主要研究了以下几个方面的问题：
（1）展开式。
（2）通项公式。
（3）二项式系数及其有关性质。
本节课我们就来应用它们解决一些简单的问题。
二、探索研究
例1求（a＋b＋c）10展开式的项数。
解：（a＋b＋c）10=[（a＋b）＋c］10
=（a＋b）10＋C110（a＋b）9c＋C210（a＋b）8c2＋…＋C1010c10
∴（a＋b＋c）10展开式的项数是
11＋10＋9＋…＋1=66
例2已知（x-26x）n的展开式中，第3项的系数与第5项的系数之比是1∶4，且第4项等于－1600，求x的值。
解：由于
T3=C2n（x）n-2·（-26x）2
T5=C4n（x）n-4·（-26x）4
依题意有
4C2n∶16C4n=1∶4即C2n=C4n∴n=6
这时
T4=C36（x）3·（-26x）3=-160x2
∴-160x2=1600
解得x=10.
例3求（1-x）3（2x2＋1）5的展开式中x2项的系数。
解：在（1-x）3中x2项的系数为C23（-1）2=3，常数项为1
在（2x2＋1）5中x2项的系数为2C24=10，常数项为1
故在（1-x）3（2x2＋1）5的展开式中x2项的系数为3×1＋10×1=13.
（另解）（1-x）3（2x2＋1）5
=（1-x）（1-x）（1-x）（2x2＋1）…（2x2）＋1共5个由于积的展开式的每一项，是从每个括号里任取一个字母的积，故展开式中x2项的系数为C23（-1）2·16＋C15·2·17=13
三、演练反馈
1．已知（1＋x）m＋（1＋x）n（m、n∈N＋）的展开式中x的系数为19，求：（1）展开式中x2系数的最小值；
（2）当x2的系数最小时，求x7的系数。
（由一名学生板演后，教师讲评）
2．已知二项式（axm＋bxn）12中，a＞0，b＞0，2m＋n=0但mn≠0.若展开式中的最大系数项是常数项，求ab的取值范围。
（学生练习后，教师讲解）
3．求证：C0n1＋C1n2＋C2n3＋…＋cnnn＋1.
（学生思考后，教师讲解）
参考答案
1．解：（1）由已知得C1m＋C1n=19，即m＋n=19，（m、n∈N＋）。
展开式中x2的系数是
C2m＋C2n=12[m（m-1）＋n（n-1）］=12[m（m-1）＋（19-m）（18-m）］=m2-19m＋171
=（m-192）2＋3234
∵m∈N＋且1≤m≤18
∴当m=9或m=10时，x2的系数有最小值81.
（2）当x2的系数有最小值81时，m=9，n=10或m=10，n=9，这时x7的系数是C79＋C710=C29＋C310=156.
2．解：设展开式中第r＋1项为常数项，由于Tr＋1=Cr12（axm）12-r（bxn）r=a12-rbrCr12xm（12-r）＋nr依题意有
m（12-r）＋nr=0
又2m＋n=0
∴n=-2m代入上式得
3m（4-r）=0
而m≠0
∴r=4
即展开式中第五项为常数项。
由于第五项系数最大，则
C412a8b4＞C512a7b5C412a8b4＞C312a9b3
解得85＜ab＜94.
3．证明：左边1k＋1Ckn=1k＋1·n！k！（n-k）！=1n-1·（n＋1）！（k＋1）！（n-k）！=1n＋1Ck＋1n＋1
∴C0n1＋C1n2＋C2n3＋…＋cnnn＋1=1n＋1（C1n＋1＋C2n＋1＋…＋cn＋1n＋1）右边故原式得证。
四、总结提炼
二项式定理主要涉及展开式、通项公式、二项式系数或系数，要注意它们的综合运用，对于组合恒等式要分析其特点，正确地选择适当的方法。
五、布置作业
1．已知（xx＋23x）n的展开式中的前三项系数的和为129，这个展开式中是否含有常数项、一次项？如果没有，说明理由；如果有，求出它们的值。
2．设f（x）=（1＋x）＋2（1＋x）2＋3（1＋x）3＋…＋10（1＋x）10，求f（x）的展开式中x2的系数。
3．已知数列｛an｝满足an=n·2n-1（n∈N），是否存在等差数列｛bn｝，使an=b1C1n＋b2C2n＋…＋bncnn对一切自然数n均成立？并证明你的结论！
六、板书设计
二项式定理（四）
（一）问题引入
（二）例题分析
例1
例2
例3
练习
（三）小结
【习题精选】
一、选择题
1．x-2x6展开式中的常数项是
A．－160B．－40C．40 D．160
2．在（1-x3）（1＋x）10的展开式中，x5的系数是
A．－297B．－252C．297 D．207
3．（1＋x＋x2）n=a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a1＋a3＋a5＋…＋a2n-1等于
A．3n-1B．3n＋1C．12（3n-1）D．12（3n＋1）
4．设x=（x-1）4＋4（x-1）3＋6（x-1）2＋4（x-1）＋1，它等于下式中的
A．（x-2）4B．（x-1）4C．x4D．（x＋1）4
二、填空题
5．9192除以100的余数是。
6．计算1＋2C1n＋4C2n＋…＋2ncnn=。
7．在（1＋x）6（1-x）4的展开式中，x3的系数是（结果用数值表示）。
三、解答题
8．已知（1＋2x）n展开式中，某一项的系数恰好是它的前一项系数的2倍，而等于它后一项系数的56.试求该展开式中二项式系数最大的项。
9．在x＋124x4的展开式中，已知前三项系数成等差数列，求展开式里所有的有理项。
10．求（1＋2x-3x2）6的展开式中含x5的项。
参考答案
一、选择题：1．A2．D3．C4．C
二、填空题：5．816．3n7．－8
三、解答题：
8．解：设（1＋2x）n展开式的第r＋1项的系数是它前一项系数的2倍，而等于它后一项系数的56，即Crn2r=2Cr-1n2r-1（1）Crn2r=56Cr＋1n2r＋1（2）
由（1）得2r-1=n（3）由（2）得5）（n-r）=3（r＋1）（4）由（3）、（4）可得n=7，r=4.所以二项式系数最大的项是第4项及第5项，T4=C37（2x）3=280x32T5=C47（2x）4=560x2.
9．解：展开式的前三项分别是：T1=C0x（x）n，这一项系数为C0n=1，T2=C1n（x）n-1·124x，这一项的系数是12C1n=n2，T3=C2n（x）n-2·124x2.这一项的系数是14C2n=18n（n-1）。因为T1，T2，T3的系数成等差数列，所以12n-1=18n（n-1）-n2，即n2-9n＋8=0，解此方程得n=8，n=0（舍去）。令第r＋1项为有理项，则有Tr＋1=Cr8（x）8-r·124xr=Cr812r·x8-r2-r4.欲求有理项，只需求12（8-r）-14r为整数。因此r取0，4，8，代入Tr＋1项分别得各有理项：T1=x4，T5=358x，T9=1256x-2.
10．解：（1＋2x-3x2）6=[1＋（2x-3x2）］6
=1＋C16（2x＋3x2）＋C26（2x-3x2）2＋C36（2x-3x2）3＋…＋C66（2x-3x2）6
依题意，只有C36（2x-3x2）3，C46（2x-3x2）4，C56（2x-3x2）5三部分中能有含-168x5的项。它们分别是C36·C23·2·（-3）2x5，C46C14·23·（-3）·x5，C56·25·x5.把这三项合并，得－168x5.所以展开式中，含x5的项是－168x5.
