亚洲西部的底格里斯河与幼发拉底河之间的地带，通常叫做两河流域，它和尼罗河流域一样，也是人类早期文明的发祥地之一。这块地域古代叫做美索不达米亚。最早居住在这里的民族有苏美尔人和阿卡德人。公元前19世纪，这里建立了巴比伦王国。这个地区曾广泛使用一种楔形文字，先用削尖的木笔在软泥板上刻写，然后烧干或晒干，使它坚硬如石，这些泥板被埋在地下数千年，经久不坏。19世纪上半叶考古学家在美索不达尼亚挖掘出大约50万块有文字的泥板，其中有300块被鉴定为数学泥板。这些泥板上载有数字表和一些数学问题。现在关于巴比伦的数学知识就来源于这些泥板。
大约在公元前1800—前1600年间，巴比伦人就使用了六十进制记数法。对于小于六十进制的整数，使用1（ㄚ）和10（）两种符号来表示。
如25=2×10+5表示为
大于60的数，用位值制记数法，也是用上面两种记号来表示，如524551=2×603+25×602+42×60+31表示为
这里的ㄚ和都可以表示60的各次幂，因为没有零号，这种记数法是不完善的。以60为基数的位值制应该是将数写成an·60n+an-1·60n-1+…+a2·602+a1·60+a0的形式，ai（i=0，2，…，n）是60种不同符号中的某一个，这样，就需要60个符号。巴比伦人的记数法只有两个符号，但他们不是二进制，是六十进制，60以下的数是用简单累加表示的。
玛雅记数制
玛雅人的数学，从仅存的资料中得知其包含：数的系统、位值制、零，以及使人印象深刻的记载时间的方法。不幸的是，对于大多数玛雅资料人们至今无法解读。例如，我们知道他们是按二十进制计算的，但我们没有他们利用这种系统计算日期的直接证据［美］T．帕帕斯著，张远南，张旭译。数学趣闻集锦（下）。上海教育出版社，37页。，因为有关日期的记录都被毁了。目前可以信赖的只有他们关于天文和历法的记载，从中知道他们发展了一种位值制系统，用它可以表示很大的数（实际上要多大都可以）。他们也用一个符号表示一个单位的空缺，因而可以说已经有了零的概念。这种符号像半开的眼睛，也像一只贝壳。由于宗教和仪式在他们的生活中占据了重要的角色，甚至控制了他们的生活，因而天文和日历的记录较为广泛。
玛雅人的数的系统多半受他们历法的影响。因为他们用的是一种修改的二十进制位值制体系：
但他们的位值制并不严格遵循二十进制，即不是1=200，20=201，400=202，8000=203，160000=204，…，而是越过头两位，从第三位起遵循二十进制。即
1=200，20=201，360=18×201，7200=18×202，14000=18×203，…
这里我们要注意的是，所用的18和20正是在他们的日历中提到的。玛雅人用一个符号代表零，这个零有两种作用：一是作为位置的持有者，二是作为数量。同②，41页。
中国古代的计算工具——算筹
中国筹算记数制
从流传至今的文献记载来看，最晚从春秋末期起，一直到元代末年，这一历史时期中国数学的主要计算工具是算筹。吴文俊主编。中国数学史大系（第一卷，上古到西汉）。北京师范大学出版社，365页。算筹是一般的称呼，还有其他的叫法，如策、筹、算、筹策、算子、筹算等多种。它是像筷子那样的小棍状物，大多用竹子制作，也有铁、骨头等质料的。用它摆出数字，就能进行计算。以算筹为工具进行的数学运算，称为筹算。它与算筹有同样悠久的历史。
相应的记数制叫筹算记数制。筹算记数制是接近现代位值制的十进位值制。有纵横两种方式：
记数时个位常用纵式，其余纵横相间，如
=3763，
空一格表示零，如
由于纵横相间，还有个位必定是纵式，所以空位不致看错。除了数码形式不同之外，和现在的十进位值制并无两样。这是当时世界上最简便的计算工具、最先进的记数制度，比古巴比伦的六十进位值制方便，比古埃及的十进位非位值制先进。中国古代数学有着辉煌的成就，这些成就大都借助于算筹与筹算取得的。
印度-阿拉伯记数制
从以上叙述可以看出，在数学史上，许多国家和民族发明了各种不同的数字符号（数码）和记数法。随着历史的前进，其中多数数码现已废弃不用，有些只在一定范围内和某些场合使用。当今国际上通用的数码就是我们熟知的阿拉伯数码。确切地说，应称作印度-阿拉伯数码。这种数字记号的演变和流传，有一段漫长而曲折的历史。
印度最早的数字记号可以追溯到婆罗米文字，它形成于公元前7—前8世纪。目前在寺庙的墙壁、石碑及铜片上发现的公元前3世纪时的数字写成下列形状：
当时还没有零的记号，也没有采用位置记数法。以后渐渐向位值制发展，大约在公元600年已过渡到位值制记数法。最初用空一格表示零，后来用小点表示。而且，印度人对零的最大贡献是承认它是一个数，而不仅仅是空位或是一无所有。这种看法在3世纪时已经出现。
梁宗世著。数学历史典故。辽宁教育出版社，62页。
到公元9世纪时，印度数码演变成：
公元773年，一位印度学者把印度的天文学著作带到阿拉伯的宫廷，后来被译成阿拉伯文。这样，印度数码开始传入阿拉伯国家。12世纪起，欧洲人开始将大量阿拉伯文的数学著作编译成拉丁文。意大利数学家斐波那契（1170—1250年）于1202年完成名作《算盘书》。开篇就介绍说，9个印度数码是9、8、7、6、5、4、3、2、1以及用这9个数码和记号0就可以写出任何数目。接下来的几章解释了位值制原理和计算方法。该书问世后广为流传，为印度-阿拉伯数码在欧洲的传播起了重要作用。因此，印度数码是通过阿拉伯国家和阿拉伯文传入欧洲的，在欧洲人的印象中，这些数码来自阿拉伯国家，所以称之为阿拉伯数码，这个名称一直沿用至今。
在我国，印度-阿拉伯数码最早于1892年出现在由美国传教士狄考文和邹立文合译的《笔算数学》中张奠宙主编。数学史选讲。上海科技出版社，124页。，不过当时的数目字是竖排的。后来由于封建保守思想的束缚，曾一度改回用汉字“一、二、三、…”。直到辛亥革命后，印度-阿拉伯数码才在我国正式通行。
费尔玛大定理的证明
——20世纪最伟大的数学成就
记数制产生之后，人们可以很方便地研究自然数的各种性质了。在17世纪便产生了一个关于自然数的著名定理——费尔玛大定理。它的表达形式十分简单明了，只要有初等数学的基础就能看懂定理本身，但它的证明却经历了漫长的3个多世纪。在这漫长的3个多世纪中，数学这门科学本身发生了很大的变化，人们对数学的认识也发生了很大的变化。费尔玛大定理的提出以及解决的过程是这一变化的最好体现。
业余数学家费尔玛
费尔玛（1601—1665年）法国数学家。早年在家乡受教育，后来进入大学学习法律并获得法律方面的学士学位。在他20多岁的时候对数学发生了兴趣，深入研究过数学家韦达（1540—1603年）的著作。关于韦达，后面将要介绍，他的论著内容深奥、言辞艰涩。但是费尔玛不但有丰富的法律知识，以律师为职业，而且是一位博览群书、见多识广的学者。
数学家费尔玛
虽然数学只不过是他的业余爱好，但他精通法语、西班牙语、拉丁语、希腊语。从而使他不仅能精心研究韦达著作，而且能深入钻研那些古典数学著作，汲取了先辈数学家的成果，在几个重大数学分支中都做出了极为重要的贡献。最使他闻名于世的是他提出的费尔玛大定理或者叫做费尔玛猜想。
费尔玛大定理
费尔玛对解析几何、微积分和概率论的开创都做出了重要贡献。但最能显示出他的才华且对后人影响最大的，还是他在数论方面的工作。在他生命的最后15年里，他几乎把全部精力放到了对数论的研究上。
在费尔玛之前，希腊人也曾经研究过数的性质，我们可以从欧几里得、丢番图等人的著作中找到一些关于数的性质的论述，但是很不系统。这个学科也曾强烈地吸引印度人和中国人，但是直到费尔玛仔细研究了丢番图著作的译本并把注意力转移到这方面之前，数论始终不曾有过重大进展。费尔玛对数论的研究是从读丢番图的《算术》开始的。费尔玛对数论的大部分研究结果都批注在这本书的边缘和空白以及写给朋友的一些信中。他于1637年前后在丢番图的《算术》第二卷第八命题“将一个平方数分为两个平方数”的旁边写到：“相反，要将一个立方数分为两个立方数，一个四次幂分为两个四次幂。一般地将一个高于二次的幂分为两个同次的幂，都是不可能的。对此，我确信已发现一种美妙的证法，可惜这里的空白太小，写不下。”这就是数学史上著名的费尔玛大定理或称费尔玛最后定理，这个定理用现代术语简述如下：
不可能有满足xn+yn=zn，xyz≠0，n>；2的正整数x、y、z存在。
费尔玛去世后，他的儿子塞缪尔·费尔玛把费尔玛读过并加上评注的《算术》一起编辑，于1670年出版。费尔玛的这个断言才以费尔玛大定理或费尔玛最后定理传播于世。
20世纪最重要的数学成果
——费尔玛大定理的证明
人类历史上的一个100年又走到了末尾，在这样的时候人们总是觉得应该行动起来，将一些具有创造性的成果献给新的世纪，而且也希望人类的思维和科学的发展走进一个新时代。近几个世纪以来，每一个100年中都有重大的科学发明或发现足以引起思想史上的革命。单纯从数学的角度来看，17世纪的微积分和解析几何的发明，18世纪产生的许多数学分支，19世纪对数学基础的讨论和大数学家希尔伯特在20世纪初提出的23个数学问题都在科学史上留下了一席之地。到了20世纪末的时候出现了一个令人振奋的消息：历时350年后，费尔玛大定理终于获证。
这样一个用十分初等的方式表述的定理是否能用初等方法证明呢？是否正如费尔玛所写，他已经证出了这个定理呢？350年来，成千上万的人自以为证出了，而实际上搞错了。在现存的资料中，费尔玛除了旁注外，就再也没有提到这个定理的证明，可是他在其他地方却几次提到：
x3+y3=z3和x4+y4=z4没有正整数解。从现有的对费尔玛大定理的证明来看，只有当n取特殊值时，才有可能用现在数学上称之为初等的方法去解决。实际上，到18世纪末，费尔玛大定理进展甚微。19世纪初，数论发展成为纯数学领域的一部分。这时费尔玛提出的其他数论问题，也都得到解决或者给出严格证明，只有费尔玛声称自己已经证明的费尔玛大定理仍然没有多少进展。于是它又被称为费尔玛最后定理，这对数学家们仍然是一个最大的挑战。1816年和1850年法国巴黎科学院两次以费尔玛大定理为题设奖，许多大数学家，其中包括当时顶尖的数学家、德国的高斯和法国的柯西，都曾热衷于研究这个问题，不过最终都败下阵来。
19世纪初实际上只有n=3、n=4两种情形得到证明。而n=5的情形则历经半个多世纪，直到1823—1825年才完全证明。1839年当数学家证明n=7的情形时就开始踏上了分圆域唯一素因子分解的禁区，初等的方法至此告一段落。
在1847—1995年的149年的时间里，数学家开始用与前150年完全不同的方法去证明费尔玛大定理，进入了实质性的阶段。其中有3次突破：1847年，德国数学家库默尔（1810—1893年）走出了在证明费尔玛大定理道路上的第一次突破；但是1850—1950年又是这一著名定理的沉寂时期，在1908年，德国数学家佛尔夫斯克尔留下遗言，把10万马克的巨款赠给哥廷根皇家科学会。有一个附加条件，将款项作为奖金，授予第一个证明费尔玛大定理的人。按照哥廷根皇家科学会的决定，这项奖金限期100年，到2007年取消。消息传出，应征者的“证明”纷至沓来，单就1908—1911年3年间，就收到1000多份证明，但是所有证明都是错误的。直到1918年第一次世界大战结束后，马克不断贬值。这时10万马克的奖金实际上只能买几张白纸！解答费尔玛大定理的热潮至此才告一段落，那些为奖金而努力的人不在做尝试，继续注意研究费尔玛大定理的人多是从爱好数学的立场出发，使关于费尔玛大定理的研究走向更深的层次。
到了1983年，原联邦德国29岁的数学家伐尔廷斯证明了一个名叫莫德尔的猜想是正确的。由这个猜想可以推出，如果方程xn+yn=zn（n≥4）有解，则至多有有限多个。伐尔廷斯的成就被认为是在证明费尔玛大定理道路上的第二次突破。至此，数学家看出由一系列猜想最终可导出费尔玛大定理的证明。
十年之后的1993年6月23日，英国数学家安德鲁·维尔斯在剑桥大学的牛顿数学研究所作了长达2．5小时的研究报告。在报告结束的时候，他宣布：“我证明了费尔玛大定理。”这一消息引起了轰动。但是后来到了11月，数学家发现他的证明中有漏洞。维尔斯也以电子邮件的形式承认了这一点，并表示继续努力补上这一漏洞。两年之后，1995年维尔斯最终完成了证明。至此，在20世纪末的时候，一个困扰人类300多年的著名猜想终于被彻底证明而成为真正的定理。
哥德巴赫猜想
——皇冠上的明珠
中国科学院院士、中科院数学研究所研究员王元说：“1、2、3、…这些简单的正整数，从日常生活以至尖端科学技术都是离不开的。其他的数字，如负数、有理数等等，则都是以正整数为基础定义出来的。所以，研究正整数的规律非常重要。在数学中，研究数的规律，特别是研究整数的性质的数学，叫做‘数论’。数论与几何学一样，是最古老的数学分支。
看起来似乎是十分简单的数字，却包含着许多有趣而深奥的学问。”《光明日报》1978年8月18日。理都是这样的问题。
