在数论中有一些问题在几百年以前就已经被发现了，而且它们具有十分简单的表达形式，只要学过初等数学知识就能理解这些问题。但是这些问题的解决却进行了几百年，在解决过程中产生了许多新的数学分支。这些问题都是很有意义的，它们刺激了数学的发展，而且问题本身既简单明了又容易理解。此外，研究这些问题的方法，不仅对这一问题所在的数学分支具有广泛的意义，而且也可以用到不少数学分支中去，推动这些数学分支的发展。哥德巴赫猜想和费尔玛大定理都是这样的问题。
我国著名数学家陈景润
《人民日报》1978年2月17日刊载了一篇徐迟的报告文学“哥德巴赫猜想”，曾经轰动全国。这篇报告文学主要是写在国际上享有盛名的我国著名数学家陈景润热爱祖国、热爱科学、忘我工作、顽强拼搏的事迹和精神的。
因为陈景润创造了一个举世震惊的奇迹：在我国的“文革”期间，他居住在一个6平方米的小屋中，借一盏昏暗的煤油灯，伏在床板上，用一只笔，耗去了几麻袋的草稿纸，居然攻克了世界著名数学难题“哥德巴赫猜想”中的（1+2），创造了解决“哥德巴赫猜想”（1+1）只差一步之遥的辉煌，被国际数学界誉为“陈氏定理”。陈景润的结果在世界数学界引起了强烈反映，为我国赢得了国际荣誉。
1978年的中学生现在已经过了而立之年，当年徐迟那篇感情色彩颇浓的报告文学“哥德巴赫猜想”，犹如一面旗帜，召唤着一批立志献身科学的青年学生，踏上了向科学进军的征途。同时也正是因为这篇文章，使得一批青少年朋友和许多人知道了“哥德巴赫猜想”，而且由于在数学中将“哥德巴赫猜想”记作（1+1），于是就有了许多人去找或向中国科学院数学所去信说自己已经证明了哥德巴赫猜想。1978年8月18日《光明日报》刊登了我国著名数学家王元的文章“关于哥德巴赫猜想”，向公众介绍了这个著名的数学难题。在文章的最后，他写到：“数学是一门很严格的学问，现在有些同志，连数论的基础书都没有认真看过，就企图去证明（1+1），这不仅得不到结果，浪费了宝贵的时间，反而把一些错误的推导与概念，误认为正确的东西印在脑子里，它对于学习与提高都起着有害的作用。我们要从中吸取有益的教训。我们认为愿意搞这类经典问题的人，应先熟悉已有的成果与方法，再作进一步的探讨，才会是有益的。”
20多年前的有关数学的书籍，并不像现在这样丰富和普及。有关的数学思想和方法也不像现在这样，有许多的数学家和普通的数学工作者都在努力着想把它们用一些简单的语言和思想表达成更多人能够理解的东西，因此就有了上面所说的故事发生。
对我们来说，在近现代数学史上，一个对世界数学做出过伟大贡献的中国数学家的名字与这个著名的数学难题联系着。这一点和上面提到的一段发人深思的故事都使得我们产生了了解这个猜想和其解决情况的兴趣。
数学家哥德巴赫
哥德巴赫（1690—1764年）是德国-俄国数学家。1690年3月18日生于普鲁士柯尼斯堡（今俄罗斯的加里宁格勒），1764年11月20日卒于莫斯科。俄国的沙皇彼得大帝（1682—1725年在位）当年为了振兴俄罗斯，进行了著名的改革。聘请了一大批欧洲的大科学家。其中有瑞士的欧拉，欧拉来到俄国时，是一位年轻的大学毕业生，后来成为世界著名的大数学家。1725年，哥德巴赫移居俄国的彼得堡，任帝国科学院秘书兼数学和历史学教授，与欧拉共事。1727年赴莫斯科，当上沙皇彼得二世的家庭教师。他曾与欧拉进行了长期的书信交往。当时的科学家之间有一个习惯，就是将自己的研究成果用写信的形式进行交流和讨论。这些信件是后人研究科学思想和科学方法的重要依据。
哥德巴赫猜想
哥德巴赫在1742年6月7日给欧拉的信中提出了这一猜想：不小于6的偶数能表示成两个奇素数之和（1）；不小于9的奇数能表示成3个奇素数之和（2）。欧拉在6月30日的回信中说：虽然我还不能证明它，但确信它的成立。欧拉同时简化了猜想的表述：任何一个偶数n（n≥4）是两个素数之和。该猜想虽然对不太大的数用实际检验得到证实，但至今历时200余年仍悬而未决，没有严格的证明。因为尚未经过严格的证明，只能称之为猜想。
1900年，20世纪伟大的数学家德国的希尔伯特（1862—1943年）在巴黎举行的国际数学家大会上发表演说，提出新世纪数学面临的23个问题。对这些问题的研究有力地推动了20世纪数学发展的进程。在演说中，希尔伯特把哥德巴赫猜想看成是以往遗留的最重要的问题之一，介绍给20世纪的数学家来解决，即所谓希尔伯特第八问题的一部分。现在20世纪已过，虽然哥德巴赫猜想在20世纪取得了重大进展，包括我国的数学家也在此问题上做出了重要贡献，但哥德巴赫猜想的最后解决到现在为止还没有完成。
因此，这一著名的数学难题很可能要留给未来的数学家了。
中国数学家与哥德巴赫猜想
虽然哥德巴赫猜想在20世纪没有得到彻底的解决，但却获得了一些重大突破。自哥德巴赫写信到1920年，这个猜想的证明工作没有任何进展。只有一些人用数值计算来验证猜想。但是偶数的个数和素数的个数都是具有无穷多个，这样的数值验证经过多少个都不能算作证明。
哥德巴赫猜想第一次重大的突破是20年代获得的。在1922年，英国数学家哈代（1877—1947年）与李特尔伍德（1885—1977年）提出了一个研究哥德巴赫猜想的方法，即所谓的“圆法”。哈代培养了许多优秀的数学人才，我国著名的数学家华罗庚（1910—1985年）就是他的学生。
1937年，原苏联数学家维诺格拉朵夫（1891—1983年）应用圆法，结合他创造的三角和估计方法，证明了每个充分大的奇数都是3个素数之和。从而，基本上证明了哥德巴赫信中提出的猜想（2）。因此，只剩下信中的猜想（1），这个命题简称（1+1）。
1919年，挪威数学家布龙将源于公元前250年的“埃拉朵斯然尼斯筛法”作了重大改进，并将它用于哥德巴赫猜想。他首先证明了：每一个充分大的偶数都是两个素因子个数均不超过9的整数之和，简记为（9，9）。
解决一个数学难题，特别是涉及到证明时，找到解决问题的最基本的方法是一件很重要的事。在哥德巴赫猜想的解决过程中，就体现了这一点。在1742—1919年漫长的178年时间中哥德巴赫猜想的研究只是表面的数值计算，而从1919年起到现在的80年时间里，哥德巴赫猜想的研究工作和其意义在整个数学史乃至思想史上都有着十分重要的地位。主要的因素就是数学家在方法方面的工作。因此我们在学习数学时，应该将重点放在提炼方法和思想上。研究哥德巴赫猜想的最基本的方法就是筛法和圆法，这两种方法都是在20世纪20年代时开始的。在这个著名的数学难题上数学家留下的足迹，可以从表1中看出。
表1哥德巴赫猜想问题的阶段成果周春荔主编。全国高等教育自学考试指定教材，数论初步。北京师范大学出版社，91页。
成果年份成果获得者
（9，9）1920有些书上此处是1919年，如王元著：《华罗庚》，开明出版社，186页——本书编者注。布龙（挪威Brun）
（7，7）1924雷特马赫（德国Rademacher）
（6，6）1932埃斯特曼（英国Estermann）
（5，7），（4，9），（3，15），（2，366）1937蕾西（意大利Ricci）
（5，5）1938布赫夕太勃（苏联ByxluΤaσ）
（4，4）1940布赫夕太勃（苏联ByxluΤaσ）
（1，C），C是常数1948瑞尼（匈牙利Renyi）
（3，4）1956王元（中国）
（3，3），（2，3）1956王元（中国）
（1，5）19611962巴尔斑（苏联Bapσah）潘承洞（中国）
（1，4）19621963王元（中国）潘承洞（中国）
巴尔斑（苏联Bapσah）
（1，3）1965布赫夕太勃（苏联yxщTaб）（小）维诺格拉多夫（苏联A.И.Bинoгpaдoв）波皮里（Bombiri）
（1，2）1973陈景润（中国）
从上表中我们可以看出，中国的数学家在哥德巴赫猜想的研究上做出了重大贡献。其实，在王元、潘承洞和陈景润的名字后面还有一位我国现代史上杰出的数学家华罗庚。1994年，王元著的《华罗庚》出版，封面上有一句话：“华罗庚是世界第一流数学家，他的成就遍及数学的很多领域。”
哥德巴赫猜想的严格证明是从哈代和布龙开始的，而在1936年经维纳（1894—1964年）推荐，哈代邀请华罗庚去英国剑桥大学访问。当时剑桥大学是世界数学中心之一，其中分析与解析数论尤其很强。在那里及附近地方集中了一批朝气蓬勃、才华横溢的年轻数学家。其中有很多人后来都成为著名的数学家，对数学做出过很多贡献。他们与华罗庚互相切磋，欢迎来自东方古老国家的这位活泼、华罗庚与陈景润在一起（1980）勤奋而又聪明的青年。华罗庚很快地成了他们的新伙伴，并从他们那里得到了不少帮助。华罗庚尽量地利用剑桥大学的学术环境，在数论与分析方面都下功夫学习。
1953年冬，这时华罗庚已经是中国科学院数学研究所的所长。数论组成立，华罗庚即亲自领导了两个讨论班，一个是“数论导引”讨论班，一个是“哥德巴赫猜想”讨论班。每周各进行一次。王元、潘承洞都参加了“哥德巴赫猜想”的讨论班，得到了华罗庚的指导与熏陶。陈景润在1957年被调来数学所，也得到了华罗庚的栽培。因此，我们中国数学家对哥德巴赫猜想的研究起源于华罗庚，而且华罗庚在剑桥大学接触到了这个问题的前沿，回国后也坚持研究，培养了学生研究这个问题，一直关注这个问题的研究动向。我国的数学家在这样一个世界著名的数学难题上能走在前列是经过了两代数学家的努力实现的。
数学符号
——人类最妙的发明
数学的发展从表述形式上讲，经历了文字数学和符号数学阶段。文字也是一种符号，但是这是一种普遍意义下的符号，数学符号则是表示数学概念、关系等的记号或符号。今天初等算术和代数中所使用的运算符号和其他符号大都可以追溯到16和17世纪。最初流行的这种符号系统极为多样，而且这个时期的个别数学家还采用过许多其他符号，它们没有沿用下来，数学符号的发明在数学史上具有十分重要的意义，由于使用了较好的符号体系，使得16世纪的代数发展成为符号代数，16世纪以后数学的发展进入了一个崭新的时代。
没有数学符号的时侯
没有数学符号的时候，数学是用文字表达的。数学符号的发明经历了一个漫长的阶段。数学符号与数学是同时产生的。数学中最早产生的概念是自然数概念，最早出现的数学符号则是数字符号。在所有已经使用了文字的古代民族中都发明了数字记号，如古埃及人、古巴比伦人、古希腊人、古中国人等（见“古代人怎样记数”）。数的概念的进一步发展依赖于算术运算，在古代不同文明中采用了不同的数字符号及简单的运算符号，或者必要时直接用文字叙述。古代数学由于涉及的概念较少，关系比较简单，所以，并不是非用符号不可，采用符号是个别的甚至是例外的事。古希腊的《几何原本》就没有采用符号，中世纪的阿拉伯数学也是以文字叙述为主。那么，文字叙述时期的数学是怎样的呢？下面将举出几例。
（1）古巴比伦数学著作中的问题及解法
“我将一正方形的面积与边长相加得0.45，写下系数1。取1的一半。0.30自乘得0.15。0.15加上0.45得1。这是1的平方。1减去自乘数的0.30，得0.30即正方形的边长。”李文林主编。数学珍宝。科学出版社，1998，23～24。
古巴比伦的记数制是六十进制，从此题中很容易看出，这里的数字的写法是现代人的处理，即所用记号是我们容易理解的。此题如果改用现代符号和十进位制，则可表示如下：
已知正方形的面积与边长的和，求边长。
设正方形的边长为x，则方程x2+x=34的解即为正方形的边长。x=12。
（2）古希腊数学著作《几何原本》卷二ThethirteenbooksofEuclid’selementsTranslatedfromtheTextofHeibergwithIntroductionandCommentarybyT．L．HeathDoverPublications，Inc．NewYork，1956．中译本，几何原本，兰纪正，朱恩宽译，陕西科学技术出版社，48～53。
“命题1如果有两条线段，其中一条被截成任意几段，则原来两条线段构成的矩形等于各个小段和未截的那条线段构成的矩形之和。
命题3如果任意两分一条线段，则由整个线段与小线段之一构成的矩形等于这个小线段与另一小线段构成的矩形与前面小线段上的正方形的和。
命题4如果任意两分一个线段，则在整个线段上的正方形等于各个小线段上的正方形的和加上由两小线段构成的矩形的2倍。”
以上3个命题如果用现代数学语言表示则为：
命题1a（b+c+d+…）=ab+ac+ad+…
命题3（a+b）a=a2+ab
命题4（a+b）2=a2+2ab+b2
（3）古代中国数学著作中的一道题——《九章算术》卷九算术》导读与译注。陕西科学技术出版社，1998，726～727。
“今有邑方不知大小，各中开门。出北门二十步有木。出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木。问邑方几何？答曰：二百五十步。
术曰：以出北门数乘西行步数，倍之为实；并出南门步数为从法，开方除之，即邑方。”
此题的问题部分容易看懂，而解答部分（即术曰）用现代数学术语则很简单：设邑方（即正方形城池的大小）为x，则按照术曰可列出方程式：
x2+34x=2×20×1775，解之得：x=250。
（4）中世纪的阿拉伯的数学著作
“包含4种幂的方程有的简单，有的复杂。简单的方程有6种：
1．数等于根；
2．数等于平方；
3．数等于立方；
4．根等于平方
5．平方等于立方
6．根等于立方。”同注①，106页。
用现代数学符号表示则为：
1．x=a；
2．x2=a；
3．x3=a
4．x2=bx；
5．x3=cx
6．x3=bx
以上我们举出4个例子来进行对比。可以看出，数学符号简明易懂，清晰明了。而且是一种统一的语言。以上的4个例子所表达的数量关系只是简单的初等数学范围内的，如果数量关系复杂了，就更能显示出符号的优势来。
