计年的方法比记月的多。如果开始计算的时候是收获季节，过了12个多月，地球绕太阳走了一圈，果子、谷物又成熟了，那就叫做一年。我国古代黄河流域的人和古代斯拉夫人都是这么计算的。埃及的尼罗河每年7月开始泛滥，古代埃及人就将两次泛滥之间的日子称为一年。美洲印第安人计算年以初雪为标志，澳洲人则根据雨季计算。我国黑龙江一带的居民，以吃大马哈鱼作为一年的标准。因为大马哈鱼定年定时由海里进入黑龙江。这些计算年的方法当然都是很原始，很不精确的。我们现在都知道，地球绕太阳一周，也就是一个太阳年，等于365天5小时48分46秒或365.242194天。如果根据月亮来算，一年12个月却只有354天或355天，平均差了10天21小时。一年差10天多，如果过上两三年就不得了，这对游牧民族和农业民族定季节就大大不利。于是每过两三年就增加一个月，叫做闰月，有闰月的年叫闰年。闰年一年就有384或385天。
我国早在四千年前的夏朝就开始制定历法，所以叫做夏历。在三千年前，就有十三月的名称了。到两千多年前，人们知道了一年等于12又7/19阴历的月，就采用“19年7闰”的方法设置闰月。夏历既是根据月亮（太阳），也根据太阳，所以是阴阳历的一种，两千多年前秦始皇的时候（公元前246年）就测得了一年平均是365又1/4天。它比阴历优越，只是平年和闰年，日数相差太大了。
现在世界通用的公历（阳历）也经过一个长期演变的过程。我们先看，公历每个月的日数是固定的：“七前单大，八后双大”。也就是说，一、三、五、七、八、十、腊月（十二月）是31天，四、六、九、十一月是30天，只有二月，平年28天，闰年29天。
二月平年为什么只有28天？原来，我们今天用的公历是从儒略历变来的。在公元前46年，罗马的统帅叫儒略·恺撒。据说他的生日在7月，为了表示他的伟大，于是他决定：将7月叫“儒略月”，连同所有单月都定为31天，双日定为30天，只有2月平年29天，闰年30天。因为2月是行刑的月份，所以减少一天。恺撒的继承人叫奥古斯都，他的生日在8月。伟大人物生日的那个月只有30天那怎么行？他决定将8月叫“奥古斯都月”，并且将8月、10月、12月都改为31天，9月、11月都改为30天。这一来不就多了一天吗？于是又从2月里拿出一天来。从此2月平年就只有28天，闰年只有29天了。
闰年为什么要多一天呢？前面我们说过，地球绕太阳一周要365天5小时48分46秒。为了方便，一年算365天。那么，多出的5小时多怎么办呢？人们想，每隔4年，就差不多可以凑上一天了，于是四年一闰，在闰年2月加一天，现在，公历年数，凡是能被4整除的，如1984、1988、1992、1996年都定为闰年的。可是，问题还没有完，因为四年实际上只多了23小时15分4秒，还差44分56秒。这个差数积累400年，又少了3天。也就是说，每隔400年要少设三个闰年才行。于是又规定，整百年的数必须能被400整除才算闰年，否则不算。例如1600、2000、2400才算闰年。1700、1800、1900年都不算闰年。这样，每400年差的三天就扣出来了。当然，还有一点点差距，但是那只要3000年以后再调整就行了。
92.“数学”这一名称的由来
古希腊人在数学中引进了名称，概念和自我思考，他们很早就开始猜测数学是如何产生的。虽然他们的猜测仅是匆匆记下，但他们几乎先占有了猜想这一思考领域。古希腊人随意记下的东西在１９世纪变成了大堆文章，而在２０世纪却变成了令人讨厌的陈辞滥调。
在现存的资料中，希罗多德是第一个开始猜想的人。他只谈论了几何学，他对一般的数学概念也许不熟悉，但对土地测量的准确意思很敏感。作为一个人类学家和一个社会历史学家，希罗多德指出，古希腊的几何来自古埃及，在古埃及，由于一年一度的洪水淹没土地，为了租税的目的，人们经常需要重新丈量土地；他还说：希腊人从巴比伦人那里学会了日晷仪的使用，以及将一天分成１２个时辰。希罗多德的这一发现，受到了肯定和赞扬。认为普通几何学有一个辉煌开端的推测是肤浅的。
柏拉图关心数学的各个方面，在他那充满奇妙幻想的神话故事《费德洛斯篇》中，他说：故事发生在古埃及的洛克拉丁（区域），在那里住着一位老神仙，他的名字叫赛斯，对于赛斯来说，朱鹭是神鸟，他在朱鹭的帮助下发明了数，计算、几何学和天文学，还有棋类游戏等。
柏拉图常常充满了奇怪的幻想，原因是他不知道自己是否正亚里士多德最后终于用完全概念化的语言谈论数学了，即谈论统一的、有着自己发展目的的数学。在他的《形而上学》第１卷第１章中，亚里士多德说：数学科学或数学艺术源于古埃及，因为在古埃及有一批祭司有空闲自觉地致力于数学研究。亚里士多德所说的是否是事实还值得怀疑，但这并不影响亚里士多德聪慧和敏锐的观察力。在亚里士多德的书中，提到古埃及仅仅只是为了解决关于以下问题的争论：１．存在为知识服务的知识，纯数学就是一个最佳的例子：２．知识的发展不是由于消费者购物和奢华的需要而产生的。亚里士多德这种“天真”的观点也许会遭到反对；但却驳不倒它，因为没有更令人信服的观点．
就整体来说，古希腊人企图创造两种“科学”的方法论，一种是实体论，而另一种是他们的数学。亚里士多德的逻辑方法大约是介于二者之间的，而亚里士多德自己认为，在一般的意义上讲他的方法无论如何只能是一种辅助方法。古希腊的实体论带有明显的巴门尼德的“存在”特征，也受到赫拉克利特“理性”的轻微影响，实体论的特征仅在以后的斯多葛派和其它希腊作品的翻译中才表现出来。数学作为一种有效的方法论远远地超越了实体论，但不知什么原因，数学的名字本身并不如“存在”和“理性”那样响亮和受到肯定。然而，数学名称的产生和出现，却反映了古希腊人某些富于创造的特性。下面我们将说明数学这一名词的来源。
“数学”一词是来自希腊语，它意味着某种‘已学会或被理解的东西’或“已获得的知识”，甚至意味着“可获的东西”， “可学会的东西”，即“通过学习可获得的知识”，数学名称的这些意思似乎和梵文中的同根词意思相同。甚至伟大的辞典编辑人利特雷，在他编辑的法语字典中也收入了“数学”一词。牛津英语字典没有参照梵文。公元１０世纪的拜占庭希腊字典“Ｓｕｉｄａｓ”中，引出了“物理学”、“几何学”和“算术”的词条，但没有直接列出“数学”-词。
“数学”一词从表示一般的知识到专门表示数学专业，经历一个较长的过程，仅在亚里士多德时代，而不是在柏拉图时代，这一过程才完成。数学名称的专有化不仅在于其意义深远，而在于当时古希腊只有“诗歌”一词的专有化才能与数学名称的专有化相媲美。“诗歌”原来的意思是“已经制造或完成的某些东西”，“诗歌”一词的专有化在柏拉图时代就完成了。而不知是什么原因辞典编辑或涉及名词专有化的知识问题从来没有提到诗歌，也没有提到诗歌与数学名称专有化之间奇特的相似性。但数学名称的专有化确实受到人们的注意。
首先，亚里士多德提出，“数学”一词的专门化使用是源于毕达哥拉斯的想法，但没有任何资料表明对于起源于爱奥尼亚的自然哲学有类似的思考。其次在爱奥尼亚人中，只有泰勒斯在“纯”数学方面的成就是可信的，因为除了第欧根尼·拉尔修简短提到外，这一可信性还有一个较迟的而直接的数学来源，即来源于普罗克洛斯对欧几里得的评注：但这一可信性不是来源于亚里士多德，尽管他知道泰勒斯是一个“自然哲学家”；也不是来源于早期的希罗多德，尽管他知道塞利斯是一个政治、军事战术方面的“爱好者”，甚至还能预报日蚀。以上这些可能有助于解释为什么在柏拉图的体系中，几乎没有爱奥尼亚的成份。赫拉克利特有一段名言：“万物都在运动中，物无常往”，“人们不可能两次落进同一条河里”。这段名言使柏拉图迷惑了，但赫拉克赖脱却没受到柏拉图给予巴门尼德那样的尊敬。巴门尼德的实体论，从方法论的角度讲，比起赫拉克赖脱的变化论，更是毕达哥拉斯数学的强有力的竞争对手。
对于毕达哥拉斯学派来说，数学是一种“生活的方式”。事实上，从公元２世纪的拉丁作家格利乌斯和公元３世纪的希腊哲学家波菲利以及公元４世纪的希腊哲学家扬布利科斯的某些证词中看出，似乎毕达哥拉斯学派对于成年人有一个“一般的学位课程”，其中有正式登记者和临时登记者。临时成员称为“旁听者”，正式成员称为“数学家”。
这里“数学家”仅仅表示一类成员，而并不是他们精通数学。毕达哥拉斯学派的精神经久不衰。对于那些被阿基米德神奇的发明所深深吸引的人来说，阿基米德是唯一的独特的数学家，从理论的地位讲，牛顿是一个数学家，尽管他也是半个物理学家，一般公众和新闻记者宁愿把爱因斯坦看作数学家，尽管他完全是物理学家。当罗吉尔·培根通过提倡接近科学的“实体论”，向他所在世纪提出挑战时，他正将科学放进了一个数学的大框架，尽管他在数学上的造诣是有限的，当笛卡儿还很年轻时就决心有所创新，于是他确定了“数学万能论”的名称和概念。然后莱布尼茨引用了非常类似的概念，并将其变成了以后产生的“符号”逻辑的基础，而２０世纪的“符号”逻辑变成了热门的数理逻辑。
在１８世纪，数学史的先驱作家蒙托克莱说，他已听说了关于古希腊人首先称数学为“一般知识”，这一事实有两种解释：一种解释是，数学本身优于其它知识领域；而另一种解释是，作为一般知识性的学科，数学在修辞学，辩证法，语法和伦理学等等之前就结构完整了。蒙托克莱接受了第二种解释。他不同意第一种解释，因为在普罗克洛斯关于欧几里得的评注中，或在任何古代资料中，都没有发现适合这种解释的确证。然而１９世纪的语源学家却倾向于第一种解释，而２０世纪的古典学者却又偏向第二种解释。但我们发现这两种解释并不矛盾，即很早就有了数学且数学的优越性是无与伦比的。
93.计数方法的出现
一般说来，最古老的数学应当从人类把大小、形状和数的概念系统化方面所作的最初的也是最基本的努力算起。因此，有数的概念和懂得计数方法的原始人的出现可以看作是数学的第一起点。
数的概念和计数方法还在有文字记载以前就发展起来了。但是，关于这些数学的发展方式则多半来源于揣测。人类的在最原始的时代就有了数的意识，至少在为数不多的一些东西中增加几个或从中取出几个时，能够辨认其多寡。随着逐步进化，简单的计算成为了生产和生活中必不可少的活动。一个部落首领必须知道自己的部落有多少成员、有多少敌人；一个人需要知道他羊群里的羊是否少了。或许最早的计数方法是使用简单算筹以一一对应的原则来进行的。例如，当数羊的只数时，每有一只羊就扳一个指头。显然，古人也能够使用一些简单的方法计数，例如集攒小石子或小木棍；在土块或石头上刻道或在木头上刻槽；或在绳上打结，作为对应于为数不多的东西的数目的语言符合。以后，随着书写方式的改变，逐渐形成了一族代表这些数目的书写符号。
在语言计数的较早阶段，即使是同样的数字，但如果实际物体不同，表示方法也大不一样。例如，对于两只羊和两个人所用的语音词是不同的。例如，在英语中有teamofhorse表示共同拉车，拉犁的两匹马，yokeofoxen共扼的两头牛，braceofpartridge一对鹧鸪，pairofshoes一双鞋。把2种共同性质加以抽象，并采用与任何具体事物都无关的某个语音来代表它，或许人类经过很长时间以后才实现的，虽然在今天看来，这是如此的简单。
94.记录工具的出现
数字的记录和长期保存离不开记录的工具。但是，记录工具的发明和改进是一个非常漫长的过程。我们现在常用的机器制造的纸张只有100多年的历史。以前的手工制作的纸是非常昂贵和难以得到的，即使是这种纸也是在十二世纪才传到欧洲，虽然聪明的中国古人早在一千多年前，就已经掌握了这一门技术。
但是，古人为了满足自己记录的需要，也想办法创造了一些工具。一种早期类似纸的书写材料，称为纸草片，是古代埃及人发明的，而且，公元前650年左右，已经传入希腊。它是一种叫做纸草的芦苇做的。把芦苇的茎切成一条条细长的薄片，并排合成一张，一层层地往上放，完全用水浸湿，再将水挤压出来，然后放到太阳地里晒干。也许由于植物中天然胶质，几层粘到一起了。在纸草片干了以后，再用圆的硬东西用力把它们压平衡，这样就能书写了。用纸草片打草稿，就是一小片，也要花不少钱。
