另一种早期的书写材料是羊皮纸，是用动物皮做的。自然，这是稀有和难得的。更昂贵的是一种用牛犊皮做的仿羊皮纸，称做犊皮纸。事实上，羊皮纸已经是非常昂贵的了。以致中世纪出现一种习惯：洗去老羊皮手稿上的墨迹，然后再用。这样的手稿，现在被称做重写羊皮纸。有这样的情况：在若干年后，重写羊皮文件上最初写的原稿又模糊地出现了。一些有趣的“修复”就是这样做成的。
大约两千年以前，罗马人书写用品是涂上薄薄一层蜡的小木板和一支硬笔。在罗马帝国之前和罗马帝国时代，常用沙盘进行简单的计算和画几何图形。要推测更早的记录工具，也并不困难。因为，毫无疑问，人们很早就用石头和粘土做书写记录了。
95.印度和阿拉伯数系
我们现在常用的数字符号系统，是印度-阿拉伯数系。之所以用印度和阿拉伯命名，是因为它可能是印度人发明的，又由阿拉伯人传到西欧的。
目前，保存下来现在所用的数字符号的最早样品是印度的一些石柱上发现的，这些石柱是公元前250左右乌索库王建造的。至于其它在印度的早期样品，如果解释正确的话，则是从大约公元前100在纳西克窑洞中刻下的一些碑文中发现。这些早期样本中既没有零，也没有采用位置记号。但是，考古学家推测，位置值和零，必定是公元800年以前的某个时刻传到印度的，因为波斯数学家花拉子密在公元825年写的一本书中描述过这样一种完整的印度数系。
这些新的数字符号，最初是在“何时”和“如何”引进欧洲的，即使到了现在也还没有弄清：但是考古学家认为，这些符号十之八九是由地中海沿岸的商人和旅行家们带过来的。在十世纪西班牙书稿中就发现有这些符号，它们可能是由阿拉伯人传到西班牙的。阿拉伯人在公元711年侵入了这个半岛，直到1492年还在那里。通过花拉子密的专着的十二世纪拉丁文译本以及后来欧洲人的有关着作，这一完整的数系得到广泛的传播。
在十世纪以后的四百年中，提倡这数系的珠算家与算法家展开了竞争，到公元1500年左右，我们现有的计算规则获得优势。在这以后的一百年中，珠算家几乎被人遗忘，到了十八世纪在西欧就见不到算盘的踪迹了。算盘作为一个奇妙的东西再次出现于欧洲，是法国几何学家蓬斯菜在拿破仑计伐俄国的战争中当了俘掳，被释放后，把一个算盘的样品带回了法国。
印度-阿拉伯数系中的数字符号曾多次变异，只是由于印刷业的发展，才开始稳定下来的。英语中的零这个词可能是从阿拉伯文sifr的拉丁化形式zephirum演变过来的；而阿拉伯文又是从印度文中表示“无”和“空”的词sunya翻译过来。阿拉伯文sifr在十三世纪由奈莫拉里乌斯（Nemorarius）引进到德国，写作cifra，由此我们得到现在的字cipher（零）。
96.人身上的尺子
我们每个人身上都携带着几把尺子。假如你“一拃”的长度为8厘米，量一下你课桌的长为7拃，则可知课桌长为56厘米。如果你每步长65厘米，你上学时，数一数你走了多少步，就能算出从你家到学校有多远。身高也是一把尺子。如果你的身高是150厘米，那么你抱住一棵大树，两手正好合拢，这棵树的一周的长度大约是150厘米。因为每个人两臂平伸，两手指尖之间的长度和身高大约是一样的。要是你想量树的高，影子也可以帮助你的。你只要量一量树的影子和自己的影子长度就可以了。因为树的高度＝树影长×身高÷人影长。这是为什么？等你学会比例以后就明白了。你若去游玩，要想知道前面的山距你有多远，可以请声音帮你量一量。声音每秒能走331米，那么你对着山喊一声，再看几秒可听到回声，用331乘听到回声的时间，再除以2就能算出来了。学会用你身上这几把尺子，对你计算一些问题是很有好处的。同时，在你的日常生活中，它也会为你提供方便的。
97.电子计算机的二进制
由于人的双手有十个手指，人类发明了十进位制记数法。然而，十进位制和电子计算机却没有天然的联系，所以在计算机的理论和应用中难以畅通无阻。究竟为什么十进位制和计算机没有天然的联系？和计算机联系最自然的记数方法又是什么呢？
这要从计算机的工作原理说起。计算机的运行要靠电流，对于一个电路节点而言，电流通过的状态只有两个：通电和断电。计算机信息存储常用硬磁盘和软磁盘，对于磁盘上的每一个记录点而言，也只有两个状态：磁化和未磁化。近年来用光盘记录信息的做法也越来越普遍，光盘上海一个信息点的物理状态有两个：凹和凸，分别起着聚光和散光的作用。由此可见，计算机所使用的各种介质所能表现的都是两种状态，如果要记录十进位制的一位数，至少要有四个记录点，可有十六个信息状态，但此时又有六个信息状态闲置，这势必造成资源和资金的大量浪费。因此，十进位制不适合于作为计算机工作的数字进位制。那么该用什么样的进位制呢？人们从十进位制的发明中得到启示：既然每种介质都是具有两个状态的，最自然的进位制当然是二进位制。
二进位制所需要的记数的基本符号只要两个，即0和1。可以用1表示通电，0表示断电；或1表示磁化，0表示未磁化；或1表示凹点，0表示凸点。总之，二进位制的一个数位正好对应计算机介质的一个信息记录点。用计算机科学的语言，二进位制的一个数位称为一个比特，8个比特称为一个字节。
二进位制在计算机内部使用是再自然不过的。但在人机交流上，二进位制有致命的弱点——数字的书写特别冗长。例如，十进位制的100000写成二进位制成为11000011010100000。为了解决这个问题，在计算机的理论和应用中还使用两种辅助的进位制——八进位制和十六进位制。二进位制的三个数位正好记为八进位制的一个数位，这样，数字长度就只有二进位制的三分之一，与十进位制记的数长度相差不多。例如，十进位制的100000写成八进位制就是303240。十六进位制的一个数位可以代表二进位制的四个数位，这样，一个字节正好是十六进位制的两个数位。十六进位制要求使用十六个不同的符号，除了0-9十个符号外，常用A、B、C、D、E、F六个符号分别代表10、11、12、13、14、15。这样，十进位制的100000写成十六进位制就是186A0。
二进位制和八进位制、二进位制和十六进位制之间的换算都十分简便，而采用八进位制和十六进位制又避免了数字冗长带来的不便，所以八进位制、十六进位制已成为人机交流中常用的记数法。
98.有趣的21
我们知道，整数被2，3，4，5，8，9或11整除的特点易掌握，什么样的数能被7整除？这可是一个难题，下面，我将介绍一些关于整数被7整除的有趣而又有用的知识。
先从3×7=21谈起。有一个道理是很明显的。如果有一个整数的末位数是1，这个数又比21大的话，我们将这个数减去21，得数（它的末位数肯定是0）如果能被7整除，先前那个数肯定也能被7整除；如果得数不能被7整除，先前那个数肯定也不能被7整除，即在这种情况下，判断得数能不能被7整除，最末位上的0可以舍去不管。
如果给定的整数的末位数不是1，而是其他数，也可以依此类推，例如给定整数末位数是6，我们可将此数减去21×6=126，也即先从该整数中去掉末位数6，再从所余数中减去6×2=12。由此我们得到一个一般原则：去掉末位数，再从剩下的数中减去去掉的末位数的2倍。
以考查15946能不能被7整除为例，去掉末位数6，再计算1594-2×6得1582，此时，如果1582能被7整除，则115946就能被7整除；如果1582不能被7整除，则15946就不能被7整除。
继续对1582用此法判断可得154，再作一次就得7，由于最后得到的是7（或7的倍数），故知15946能被7整除。
这是一种简捷可靠的判断一个整数能不能被7整除的方法，我们称它为“去一减二法”，它的意思就是前面说的：去掉末位一个数，再从剩下的数中减去去掉的数的2倍。再举一个例子，让我们来考查841945是否能被7整除。我们将逐次用“去一减二法”。结果写出来（末位数是0时可以将0舍去）便是：841945→84184→841→82→4。故知841945不能被7整除。
实际解题时，只需心算就行了，不必将上面的式子逐个写出，解题中也可以随机应变地运用一些技巧，例如，如果一眼就看出末位两位或前两位数是14，35，56，84，91等7的倍数时，可以直接舍去，如841945→1945→184→1，立即就可以断定841945不能被7整除。在上面的心算中，我们两次舍去了84这个7的倍数。
还有一种判断整数能不能被7整除的方法，这种方法也可以用来判断整数是否能被11或13整除，由于这种方法的基础是7×11×13=1001，所以我们将它为“1001法”。
还以15946为例，我们将15946从左往右数到第一位与第四位（中间相隔两位）上的数都减去1，则得5936，实际上相当于减去10×1001，减去的是7的倍数，因此要考查15946是否能被7整除，只须考查5936是否能被7整除就行了，再从5936的第一位和第四位上都减去5，得931，则15946能不能被7整除的问题变成了考查931能不能被7整除，如果我们把大于7的数字都减去7，实际上就是要考查231是否能被7整除，这时只须用一次“去一减二法”得21，就能判定15946能被7整除了。
又如，用“1001法”考查841945能不能被7整除，由于1001×841=841841，所以841945-841841=945-841=104（即多次用“1001法的结果），因此我们只须考查104是否能被7整除即可，此时用“去一减二法”得2，故知841945不能被7整除。
这里要注意，因为1001=7×11×13，所以“1001法”不光能用来判断7的整除性，还可以用来判断11和13的整除性，由于104不能被11整除而能被13整除，所以我们可以判定841945不能被11整除而能被113整除。这是一个很有用的知识。
利用“1001法”进行判断时，如果位数较多（数字较长），可以先将整数从右到左每三个数一节地分开，再从右边数起按下面办法计算）：［第一节］-［第二节］+［第三节］-［第四节］+…
计算所得的数如果是7，11或13的倍数，原数就能被7，11或13数整除；如果算得的数不是7，11或13的倍数，则原数就不能被7，11或13整除。
例如，我们考查64763881，从右往左分节得881，763，64，于是计算得881-763+64=182，
由于182能被7和13整除，而不能被11整除，所以64763881能被7和13整除而不能被11整除。
为了开阔思路、增加兴趣，使读者掌握得更好些，笔者拟了道趣题作为上述方法的练习。
如果我们在21的2与1之间添加进去若干个0，使它变成：20…01，现在问：这种20…01的数中，是否有能被21整除的？如果没有，那是为什么？如果有，那么有多少个？
这个题目如果思路得当，小学生都能解答；如果弄得不好，大学生也做不出来。
一个很自然的想法是，我们不妨在21的2与1之间添加进去几个0试试看，当添加进去6个0时得20000001，这是一个八位数，按“1001法”分节计算得001-000+20=21，
由于21能被7整除，故20000001必能被7整除，同时考虑到20000001的各位数字之和为3，故这个数必能被3整除，因此20000001必能被21整除，所以形如20…01的数中，能被21整除的数是有的，这种数有多少个呢？如果我们再添加进去6个0的话得20000000000001，按“1001法”分节计算得001-000+000-000+20=21，
又得到一个形如20…01的能被21整除的数，这样，我们就看到，每添加进去6个0，就可得一个能被21整除的数，因此，形如20…01的能被21整除的数有无穷多个。
读者可以用同样的方法说明，往65的6与5之间，每添加进去6个0就可以得到一个形如60…05的能被65整除的数。
更有意思的是，同样的方法可以证明，不仅在21的2与1之间每添加进去6个0，所得的数都能被21整除，而且每添加进去6个别的相同数学之后，如2111111，2222221，23333331，…29999991等，也都能被21整除，其中，在21的2与1之间加进去3时，无论是加进去多少个3，所得的数233…331都肯定能被21整除，其中的道理请读者思考。
