因为第一次留下的是偶数，即2的倍数，第二次留下的皆是4的倍数……第六次留下的是64的倍数。由于在100个自然数中，只有64是64的倍数，所以报第六次后只留下一个人，他在第一次报数时报的是64。
如果将这道题略微改动一下：
百人排列，报偶数的人出列，留下的继续以此法报数，最后留下的将是哪两人？
一个当然是报1的人，若把第一个人去掉，那么每个人报的数都比原先少1，原来报奇数的现在报偶数。而原来的问题中，最后留下的是第一次报64的人，因此在这个问题中，留下的将是第一次报65和报1的人。
对于这两个问题如果不限定是百人，那么就有这样的规律：前一问题第n次留下的是2n的倍数；后者将是1与2n＋1。
7只茶杯口朝上，每次同时翻扣4只，
几次后，杯口全部朝下
首先可以肯定的是，这是不可能的。简单的办法是把杯口朝上的茶杯记成＋1，把杯口朝下的茶杯记成一1。这样，问题就变为+1，+1，+1，+1，+1，+1，+1七个数，每次翻动，就改变四个数的符号，这七个数的乘积保持不变。因为改变一个数的符号，即此数乘以－1，四个－1相乘，即（－1）4＝1，所以七个数的乘积经过翻动，仍然保持不变。
原来的七个数乘积是十上，不管经过多少次翻动，七个数的乘积始终是+1，而七个－1的乘积为－1，所以不可能把七个数都变成－1，即不可能把七只杯子全部翻成杯口向下。
如果把这道题里的七改成任意一个正奇数，四改成任意一个正偶数，答案仍旧是不可能的。
如果把七改成假数，即有偶数个茶杯，那就一定能经过若干次翻动，让全部杯口朝下。
另外，要是每次翻动奇数个茶杯，那不管原来茶杯是奇数个还是偶数个，也一定能够经过若干次翻动，让全部杯口朝下。
为什么说自然界充满了圆
圆是最常见的曲线。
我们居住的地球是圆的，给地球光与热的太阳是圆的。
人的眼珠是圆的，体内的红血球、血小板也是圆的。在人体的里里外外，可以找到许许多多圆形的组成部分。
动物的外形，盘起来的蛇像一个圆锥，蚯蚓像一个长长的圆柱，麻雀像一个圆球连在一个椭圆球上，再接一个扇形的尾巴。植物的叶绿体是圆的，许多根、茎、叶、花、果实是圆的。在显微镜上，圆的团藻表现了生物进化的生动情景。
随着科学技术的发展，人们曾想象组成万物的原子是圆的。最近，用电子显微镜拍到的照片，可以看到各种不同的原子，的确是圆的。
自然界充满了圆。但是，人类在自己发展的漫长岁月中，画出圆来制造圆形的东西，还只是很短的一瞬。今天，要是没有了圆形的东西，人类的生产和生活简直不堪设想。
你知道“祖率”吗
南北朝时期的祖冲之是我国古代伟大的数学家。他计算的圆周率，准确到了小数点后第七位：
3．1415926＜圆周率＜3．1415927。
要是用这个圆周率去计算一个半径为10千米的圆的面积，误差不超过几平方米。
祖冲之计算圆周率使用了一种叫做“缀术”［缀zhuì］的方法，可惜这种方法早已失传，无从查考。要是缀术就是割圆术，那祖冲之要算出圆内按正二万四千五百七十六边形的周长，才能得出小数点后第七位那样精确的数字。计算这样一个圆内接正多边形的周长是相当繁杂的，除去加、减、乘、除，还要乘方和开方。开方尤其麻烦，估计他计算的时候，得保留十六位小数，进行二十二次开方。当时还没有算盘，只能用一种叫做“算筹”的小竹棍摆来摆去进行计算，可见祖冲之计算圆周率花费劳动之大！他是世界上第一个把圆周率算到小数点后第七位的数学家，差不多又过了一千年，才有人把圆周率计算得更为精确。
祖冲之不只以小数形式表示圆周率，他还以分数形式表示圆周率，提出“约率”为■，“密率”为■。
人们为了纪念祖冲之的伟大功绩，把他算得的圆周率称为“祖率”。
分数的妙用
有一位阿拉伯老人，生前养有11匹马，他去世前立下遗嘱：大儿子、二儿子、小儿子分别继承遗产的■、■、■。儿子们想来想去没法分：他们所得到的都不是整数，即分别为■、■和■，总不能把一匹马割成几块来分吧？聪明的邻居牵来了自己的1匹马，对他们说：“你们看，现在有12匹马了，老大得12匹的■就是6匹，老二得12匹的就■是3匹，老三得12匹的■就是2匹，还乘一匹我照旧牵回家去。”这样就把难分的问题解决了。
分数起源于“分”。在原始社会，人们集体劳动，要平均分配果实和猎物，逐渐有了分数的概念。以后在土地计算、土木建筑、水利工程等测量过程中，当所用的长度单位不能量尽所量线段时，便产生了分数。
人们从认识分数到研究分数，是从单位分数开始的。单位分数就是形如■（n是≠1的自然数）的分数。在3700多年前埃及的纸草书上，已经认识到：所有分子为2、分母为2n＋1（n为2到49的自然数）的分数，可以分解为一些不相同的单位分数之和。如：
■＝■＋■，
■＝■＋■＋■
而通过这种表示法可以进行任何分数运算。如：
■＝■＋■＋■
＝■＋■＋■＋■＋■
＝■＋■＋■
＝■＋■＋■
＝■＋■＝■＋■＋■
巴比伦人也使用六十进位的分数，即分母是60、602、603、的分数。在很长一段时间内，欧洲人将分数运算视为畏途。
中国是世界上较早对一般分数进行研究的国家。公元前5世纪的《考工记》中，就有“十分寸之一为一枚”的记载，即寸等于1分。西汉时期《周髀算经》中，已经有了更复杂的分数运算。公元1世纪（东汉时期）的数学专著《九章算术》中，专列“方田”一章，介绍通分、约分、比较分数大小的方法，以及有关加、减、乘、除运算的法则。这些知识与现代采用的方法基本相同，比印度领先500多年，比欧洲早1400多年。
负数的引入
今天人们都能用正负数来表示相反方向的两种量。例如以海平面为0点，世界上最高的珠穆朗玛峰的高度为+8844.43米，世界上最深的马里亚纳海沟深为-11034米。在日常生活中，则用“+”表示收入，“-”表示支出。可是在历史上，负数的引入却经历了漫长而曲折的道路。
古代人在实践活动中遇到了一些问题；如相互间借用东西，对借出方和借入方来说，同一样的东西具有不同的意义。分配物品时，有时暂时不够，就要欠某个成员一定数量。再如从一个地方，两个骑手同时向相反的方向奔驰，离开出发点的距离即使相同，但两者之间却有个距离的问题。久而久之。古代人意识到仅用数量来表示一事物是不全面的，似乎还应加上表示方向的符号。为了表示具有相反的量和解决被减数小于减数等问题，逐渐产生了负数。
中国是世界是最早认识和应用负数的国家。早在二千年前的《九章算术》中，就有了以卖出粮食的数目为正（可收钱）、买入粮食的数目为负（要付钱），以入仓为正、出仓为负的思想。这些思想，西方要迟于中国八九百年才出现。
无理数的风波
无理数就是不能表示为整数或两整数之比的实数，如■、π等等。这些数不像自然数或负数那样，它不是在实际生活中直接碰到，而是在数学计算中间接发现的。
人们发现的第一个无理数是■。据说，它的发现还曾掀起一场巨大的风波。古希腊毕达哥拉斯学派是一个研究数学、科学、哲学的团体，他们认为一切数都是整数或者整数之比。有一个名叫希帕索斯的学生，在研究1和2的比例项时（如果1：x＝x：2，那么x为1和2的比例中项），左思右想都想不出这个中项值。后来他画一边长为1的长方形，设对角线为x，于是x2＝12＋12＝2。他想，x代表正方形对角线长，而x2＝2，那么x必定是确定的数。但它是整数还是分数呢？x不能是整数，那么x会不会是分数呢？毕达哥拉斯和他的学生们绞尽脑汁也找不到这个分数。
这样，如果x既不是整数又不是分数，它是什么样的数呢？希帕索斯等人认为这必定是一个数。这一发现，使得毕达哥拉斯学派的观点动摇了，从而导致了西方数学史上的第一次“数学危机”。而希帕索斯本人因违背了毕达哥拉斯学派的观点而受到处罚，被扔到大海里淹死了。
无理数的发现，使数的概念又扩展了一步。
神秘的9
爱因斯坦出生在1879年3月14日。把这些数字连在一起，就成了1879314。重新排列这些数字，任意构成一个不同的数（例如3714819），在这两个数中，用大的减去小的（在这个例子中就是3714819－1879314＝1835505），得到一个差数。把差数的各个数字加起来，如果是二位数，就再把它的两个数字加起来，最后的结果是9（即1＋8＋3＋5＋5＋0＋5＝27，2＋7＝9）。
牛顿的生日是1642年12月25日，哥白尼的生日是1743年2月19日，高斯出生于1777年4月30日，居里夫人出生于1867年11月7日，只要按照上面的方法去计算，最后一定都得到9。实际上，把任何人的生日写出来，做同样的计算，最后得到的都是9。
把一个大数的各位数字相加得到一个和，再把这个和的各位数字相加又得到一个和，这样继续下去，直到最后的数字之和是个一位数为止。最后这个数称为最初那个数的“数字根”。这个数字根等于原数除以9的余数。这个计算过程，常常称为“弃九法”。
求一个数的数字根，最快的方法是在加原数的数字时把9舍去。例如求385916的数字根，其中有9，而且3＋6，8＋1都是9，就可以舍产，最后只剩下5，就是原数的数字根。
利用弃九法，可以检验很大数目的加减乘除的结果。例如α－b＝c，为了检验结果c，用α的数字根减去b的数字根（如果前者较小就加上9），看看差数是否对得上c的数字根。如果对不上，那么前面的结果肯定是算错了；如果对上了，那么计算正确的可能性是■。
由这些知识可以解释生日算法的奥妙。假定一个数n由很多数字组成，把n的各个数字打乱重排，就得到一个新的数n′显然n和n′有相同的数字根，把两数字根相减就会得0。也就是说，n－n′一定是9的倍数，它的数字根是0或9。而在我们的算法中，0和9本是一回事，（即一个数除以9所得的余数）。n－n′＝0只有在n＝n′即原数实际上没有改变时才发生；只有n≠n′，n－n′累次求数字和所得的结果就一定是9。
π的“马拉松计算”
圆的周长与直径之比是一个常数，人们称之为圆周率，记为π。为了计算它的值，人类从公元前2世纪开始，一直算到今天，虽然获得了数亿位，可以印成厚达百万页书的数，却仍然是一个近似值。因此，人们把关于π的计算，称为科学史上的“马拉松”。
关于π的值，较早见于公元前2世纪中国的《周髀算经》，里面有周三径一的记载。东汉的数学家又将π值改为■（约为3.16）。第一个用正确方法计算得π的，是魏晋时期的刘徽，在公元263年，他首创了用圆的内接正多边形的面积来逼近于圆面积的方法，算得π的值约为3.14。我国称这种方法为割圆术。直到1200年后，西方人才找到了类似的方法。后人为纪念刘徽的贡献，将3.14称为徽率。
公元460年南朝的祖冲之仍采用刘徽的割圆术，算得到π为3.1415926，这是世界上获得的第一个具有七位小数的圆周率。祖冲之还找到了两个近似于π的分数值：■和■。这两个分数化为小数，其值虽不如他算得的小数值准确，但用分数来代替π，在计算上简单，这种思想西方人直到一千多年后才产生。
祖冲之取得的这个π值，保持了一千多年的世界纪录。直到1596年，荷兰数学家卢道夫才经过长期艰苦的努力，算得了具有15位小数的π，以后他把这个数推进到35位。1610年他逝世时，人们给他立了一块奇特的墓碑，上面刻有他算得的π值：3.14159265358979323846264338327950288，以示纪念，并把这个数称为“卢道夫数”。
从此之后，西方数学家计算π的工作，有了飞速的进展。
1948年1月，弗格森与雷思奇合作，才算得正确的808位小数的π值。但这种计算依然费时费力，直到电子计算机问世后，对π的人工计算才告结束。20世纪50年代，人们用计算机算得了10万位小数的π，70年代又刷新到150万位。1990年，美国数学家采用新的计算方法，算到的π值已到4.8亿位。
棋盘上的麦粒有多少问题
在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人——宰相西萨·班·达依尔。国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍。请您把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这个要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒。当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求。
那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少呢？总数为：
1＋2＋22＋23＋……263＝264－1
＝18446744073709551615（粒）
人们估计，全世界两千年也难以生产出这么多麦子！
与这十分相似的，还有另一个印度的古老传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓梵塔。不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面。当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根上时，世界就将在一声霹雳中消灭，梵塔、庙宇和众生都将同归于尽。
不管这个传说是否可信，如果考虑一下把64片金片，由一根针上移到另一根针上，并且始终保持上小下大的顺序，一共需要移动多少次，那么，不难发现：不管把哪一片移到另一根针上，移动的次数都要比移动上面一片增加一倍。这样，移动第1片只需1次，第2片则需2次，第3片需22次，……第64片需263次。全部次数为：
1＋2＋22＋……＋263＝264－1
＝18444744073709551615
这和“麦粒问题”的计算结果是完全相同的！假如每秒钟移动一次，共需要多长时间呢？一年大约有31556926秒，计算表明，移完这些金片需要5800多亿年！
你知道数学史最长的国家是哪个国家吗
